triviale Umformung [lückefüller..]

Question

x^2 + y^2 = 0

<=> x^2 = - y^2

<=> x = y = 0

Gilt das Ganz dann nicht auch zum Beispiel für x = y = 3 , denn 3^2 = - 3^2  ?

Die Lösung berücksichtigt aber nur x = y = 0 .

Answer 1

Gilt das Ganz dann nicht auch zum Beispiel für x = y = 3 , denn 3² = - 3²  ? 

Nein es ist zwar  3^2 = (-3) ^2 aber nicht   3² = - 3² 

denn dann wäre ja 9 = -9

Comments

Hab die Frage aus Versehen zweimal gepostet :DDanke :)

Answer 2

Zu beachten ist, dass das Wurzelziehen KEINE Äquivalente Umformung darstellt!

Also:

$$x^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=0\\ \Leftrightarrow x^{ 2 }=-{ y }^{ 2 }\\ \text{Aber der nächste Schritt ist nicht mehr Äquivalent!}\\ \Rightarrow x=y\cdot \sqrt { -1 } =iy$$

Merke: Wurzel ziehen ist eine nicht umkehrbare Operation. Der Pfeil darf somit nicht zurückzeigen.

Beispiel:

$$ \Rightarrow (\pm x)^{ 2 }=-(\pm y)^{ 2 } $$

Das erneute Quadrieren, also die entgegengesetzte Operation zur Wurzel, führt zu vier Unterschiedlichen Gleichungen, wovon aber nur eine die Ausgangsgleichung ist.