lim n--> inf (cos (1/4*n))^-1?

Question

lim n → ∞ ( cos (1 / 4 · n ) ) ^-1 , was ist der Grenzwert und wie berechnet man diesen?

Answer 1

Das hat so keinen Grenzwert, oder hast du irgendwo ein "pi"

vergessen ?

Comments

Nein so steht das auf meinem Zettel. Kannst du vielleicht erklären warum nicht?

---

oder war es cos( 1 / (4n) ) ^-1   ?

Das wäre 1 / cos(0) =  1/1   =  1

Denn für n gegen unendlich geht 1 / (4n) gegen 0 und cos ist ja stetig.

---

War es so, oder brauchst du immer noch eine Erklärung

warum es keinen GW gibt.

---

Nein, so wie ich es geschrieben habe war richtig.

---

also wirklich   cos( 1/4 n) ) ^-1

Hätte es einen Grenzwert g, müssten für hinreichen großes n alle

cos( 1/4 n) ) ^-1  in jeder eps-Umgebung von g liegen.

Wäre g negativ, dann müssten von einem gewissen n an alle Werte von

cos( 1/4 n) ) ^-1  negativ. Da es aber immer Bereiche der Länge pi gibt, in denen das

Vorzeichen von cos gleich ist, hat man , falls für ein gewisses n       cos( 1/4 n) ) ^-1    negativ ist,

und man dann für k=1 bis 13 cos( 1/4 (n+k)) ) ^-1   betrachtet spätestens bei k=13 den Bereich von

Werten mit gleichem Vorzeichen verlassen, also bleiben sie nicht alle negativ.

Genauso: Nicht positiv.

Grenzwert 0 hieße, alle Folgenglieder liegen von n ab in jeder eps-Umgebung von 0.

also insbesondere müsste    | cos( 1/4 n) ) ^-1 | < 0,1

also     | cos( 1/4 n) )  | > 10 sein , was nicht möglich ist.

 

Answer 2

Periodische Funktionen ohne Imaginärteil haben keinen Grenzwert bei n->inf. (unendlich)

Interessant wird es bei Im(n) kleiner oder größer 0:

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sec/06/04/ShowAll.html  

Hinweis:

1/cos(x) = Secant-Funktion

0F1(...) sind hypergeometrische Funktionen

Achtung: falls Du die innere Klammer vergessen hast:

lim sec(1/(4x)),x->inf = 1, denn sec(0)=1