Vollständige Induktion Zerlegung

Question

Wie komme ich auf den zweiten Schritt???

Answer 1

Das erste ist die Summe über die 4.Potenzen aller Zahlen von 1 bis 2n

und zwar immer abwechselnd mit + und - .

Das ist bei der 2. Zeile aufgeteilt in die positiven, das sind die mit geradem k, deshalb fehlt

bei denen auch das (-1) ^2k  ; denn das ist ja eh nur 1

und die negativen (deshalb steht vor der 2. Summe ein "minus", weil die halt alle

negativ sind.

und wenn du alle von 1 bis 2n aufteilst in gerade und ungerade, dann kannst du

diese durch 2k  bzw  2k-1 beschreiben, allerdings läft das k dann nur noch von 1 bis n

und nicht wie vorher bis 2n.

Du kannst es ja für eine kleine Zahl ( n=3) mal ausführlich aufschreiben,

dann wird es sicher noch klarer.

Comments

Vielen dank für die schnellste Hilfe. Aber es ist mir nicht klar. Gibt es ein kurzer weg zu lösen??

---

mach es mal für k=3

Dann ist die 1. Summe  (von 1 bis 2n also bis 6)

(-1)¹ *1⁴ + (-1)² *2⁴  + (-1)³ *3⁴ + (-1)⁴ *4⁴ + (-1)⁵ *5⁴  + (-1)⁶ *6⁴

jetzt erst mal die (-1)-Potenzen bedenken, die sind immer abwechselnd +1 und -1

(-1) *1⁴ + 1 *2⁴  + (-1) *3⁴ + 1 *4⁴ + (-1) *5⁴  + 1 *6⁴

dann anders ordnen:

2⁴  + 4⁴ + 6⁴      -   (1⁴ + 3⁴ + 5⁴ )

und jetzt siehst du vielleicht, dass dies genau die beiden Summen sind, die

in der 2. Zeile stehen, wenn man n=3 setzt.

---

Aha!! Jetzt Alles klar. Vielen DANK :)

---

∑(k=n bis 2n) (2k-1) = (2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1)+(2*4-1)+(2*5-1)+(2*6-1) [wenn k=3]

=2 ∑(k=1 bis n) k - ∑(k=1 bis n) 1

=  n(n+1)-n

=n²

aber die richtige Lösung ist 3n² +2n-1

wo hab ich fehler gemacht????

---

∑(k=n bis 2n) (2k-1) = (2*3-1)+(2*4-1)+(2*5-1)+(2*6-1) [wenn n=3]

=2 ∑(k=n bis 2n) k - ∑(k=n bis 2n) 1      ok!

die erste Summe gibt  (  3n² + n) / 2    und die 2. besteht aus n+1 Einsen

=2*   3n(n+1) / 2     -   (n+1)

=  3n(n+1)      -   (n+1)

= 3n² + 3n  - n  - 1

= 3n² + 2n    - 1

Das grüne kann man sich so überlegen:

∑(k=n bis 2n) k    alle von 1 bis 2n minus die ersten von 1 bis n-1

= ∑(k=1 bis 2n) k      -      ∑(k=1 bis n-1) k

hierfür gibt es doch die Formel ∑(k=1 bis m) k  =  m*(m+1) / 2

Das musst du einmal für m=2n und bei der 2. für m=n-1 machen

2n(2n+1)/2       -    (n-1)*n/2

2n² + n   -  n² / 2 -  n/2

4n²  /2   + 2n  / 2     -  n² / 2 -  n/2

= (4n²    + 2n      -  n² -  n )  /  2

= (3n² + n)  /  2