Substitution bei der Integration. Bsp. f(x) = √(1-x^2)

Question

ich versteh folgende Sache bei der Substitution der Integration nicht. Am besten erkläre ich es Euch an zwei Beispielen:

Beispiel 1:

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } dx } $$  x=cos(t)

Beispiel 2

$$\int { \frac { { e }^{ -\sqrt { x }  } }{ \sqrt { x }  } dx } $$ $$u=\sqrt { x } $$

Bei dem ersten Beispiel wird ja folgendes berechnet: $$\frac { dx }{ du } =-sin(u)$$

Bei dem zweiten Beispiel folgendes: $$\frac { du }{ dx } =\frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  } $$

Frage: Warum steht bei dem ersten Beispiel das "dx" oben und beim zweiten Beispiel unten???

Muss es nicht gleich sein?? Hab bis jetzt keine Erklärung dafür im Internet gefunden.

Bitte um verständnisvolle Erklärung.

Danke schon mal im Voraus

Answer 1

\(dx\over dt\) liest sich als "dx nach dt". Soll heissen, dass x (eine Funktion von t) nach t abgeleitet werden soll. Mit anderen Buchstaben entsprechend.

Answer 2

Bei den "normalen" Variablen  y und x wird x durch y = f(x) zur unabhängigen (beliebig eingesetzten), y zur abhängigen (aus x berechneten) Variablen.

Für die Ableitung gilt dann f'(x) = dy / dx

Analog ist das in deinen Beispielen:

x = cos(t)     Ableitung x' = dx / dt = -sin(t)

u  = V(x)     Ableitung u' = du / dx = 1/(2*V(x))

Die Variable, die allein steht, spielt also gegenüber der "Normalbezeichnung" die Rolle von y,

die andere die Rolle von x.

Ich hoffe, ich habe es verständlich erklärt!