Komplexe Differenzierbarkeit

Question

Hier ist noch eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann. Wäre dankbar für Hilfe :)

a) Bestimmen Sie die Parameter a, b ∈ ℝ so, dass die Funktion f: ℂ → ℂ, f (x + iy ) := (ax^2 - y^2) + ibxy,   x,y ∈ ℝ, eine ganze Funktion ist.

b) Betrachten Sie die Funktion u:= ℝ^2 →ℝ^2, u(x,y) := e^x sin(y), x,y ∈ ℝ, und bestimmen Sie eine Funktion v: ℝ^2 → ℝ so, dass die Funktion g: ℂ → ℂ, g(x + iy) := u(x,y)+iv(x,y), x,y ∈ ℝ, eine ganze Funktion mit g(0)=0 ist.

Answer 1

benutze die CR-Gleichungen für beide Aufgaben. Mach dir natürlich klar warum welche Voraussetzungen gelten und wieso du ganze Funktionen erhältst.

zu a): \( a= 1 \wedge b = 2\)

zu b): \(v(x,y) = -e^x\cos(y)+1\)

Gruß

Comments

Danke für die Hilfe :) Aber ist es bei b) nicht -i*e^x cos(y) + i -1? Damit g(0)=0 ist. Oder habe ich mich verrechnet?

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Schau mal genau in die Aufgabe was mit \(v(x,y)\) gemeint ist. Mit dem was du geschrieben hast kann ich nichts anfangen.

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ich meine es so:

 g ist definiert durch g(x + iy) := u(x,y) + iv(x,y),  u(x,y) ist vorgegeben, also

g(x + iy) := e^x sin(y) + iv(x,y)

Mit CR-Gleichungen haben wir v(x,y) = -e^x cos(y)+c

also g(x + iy) = e^x sin(y) - i*e^x cos(y) + c

Damit g(0) = 0 ist, muss c = i-1 sein.

Stimmt das?

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Nein. 1. müsste nach deiner Rechnung \(c=i\) sein, aber dabei hättest du \(c\) zwischen durch verändert.

Dein Feher:

$$\begin{aligned} g(x+iy) &= u(x,y)+iv(x,y) = e^x\sin(y) + i(-e^x \cos(y)+c) \\ &= e^x\sin(y) - i e^x\cos(y) +ic \end{aligned}$$

Durch richtige Klammersetzung lässt sich sowas vermeiden ;).

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Ach sooo :) jetzt habe ich verstanden. Vielen Dank :D

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Gerne :). Viel Erfolg beim Lernen.