Komplexe Differenzierbarkeit

Question

Analog zum reellen Fall nennen wir eine Komplexe Abbildung f : ℂ → ℂ komplex differenzierbar in z₀ ∈ ℂ falls für alle Folgen (z_n) ⊂ ℂ \ {z₀} mit z_n → z₀ die Folge
lim _n→∞  f(z_n)−f(z₀)/(z_n-z₀)   gegen denselben Grenzwert konvergiert.

Aufgabe:

a) (a) Zeigen Sie, dass die Abbildung f(z) = e^z komplex differenzierbar (in allen Punkten) ist und es gilt f ′(z) = e^z.

(b) Nutzen Sie (a) am Punkt z₀ = 0 um zu zeigen, dass n
lim_n→∞ n *| e^i·π −1 | = π

(c) Für ein festes n ∈ ℕ definieren wir Punkte auf dem oberen Einheitskreis durch
p_k := e^{k/n* iπ} _, k = 0,...,n. 
Wir nähern die Länge des oberen Halbkreises durch folgenden Polygonzug an:

S_n :=| p_k+1 − p_k |.
Zeigen Sie mithilfe von (b), dass

lim _n→∞  S_n = π.

Problem/Ansatz:

Nun habe ich bei der a) f(z0+h)-f(z0)/h = 1/h*e^z0(e^h-1) und dann hab ich für exp(h)= Summe(h^n/n!) eingesetzt und bekomm zuletzt   1+ h*Summe(h^n-2/n!) und das geht gegen 1 wenn h->0 geht. Nun bin ich mir nicht sicher ob ich die Differenzierbarkeit nach der Aufgabenstellung gelöst habe.

Bei der b) versteh ich nicht wie man auf den Betrag kommt. Mein Ansatz ist sein (zn)=pi/n eine Nullfolge und aus a9 gefolgert das e^0=1 und bekomme dann am ende lim n->8 n*(e^pi/n-1)=pi

c) Hier rechne ich nur aus und benutz dabei die Relation aus b) aber so wirklich auf das Ergebnis komm ich nicht.