Ich habe Probleme bei einigen meiner Aufgaben:
A1)
Bestimme $$ (\frac{1}{\sqrt(2)} +\frac{i}{\sqrt(2)})^{n} ,n\in \mathbb{Z}$$
Ich habe die komplexe Zahl in die Polardarstellung umgewandelt:
$$ z = |z|*e^{i*\phi} $$
$$ z = (1*e^{i*\frac{\pi}{4}})^{n} = 1*e^{i*n*\frac{\pi}{4}}$$
Was meint ihr, reicht das so oder muss ich wirklich sagen, was da rauskommt, wei z.B.
i^n =1 für n=k*4, k aus den ganzen Zahlen
i^n =i für n=k*4+1, k aus den ganzen Zahlen und so weiter...
A2)
Binomischen Lehrsatz verwenden um komplexe Differenzierbarkeit von z -> z^n zu zeigen.
Eine Funktion ist im Punkt z kompl. diff´bar, wenn der folgende Grenzwert existiert:
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$$
Hier ist ja f(z)=z^n, eingesetzt mit dem Bin. Lehrsatz:
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{(z+h)^{n}-z^{n}}{h} = \lim_{h\to0}\frac{ \sum^{n}_{k=0}{n\choose k}z^{n-k}*h^{k} - z^{n}}{h}$$
Und jetzt weiß ich irgendwie nicht mehr weiter...
A3)
Zeige, dass \( f(z) = \overline{z} \) nicht holomorph ist. Dafür muss ich ja zeigen, dass es in einem Punkt nicht komplex diff´bar ist. Für komplexe diff´barkeit nehme ich die Definition aus A2) mit dem Grenzwert:
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{\overline{z+h}-\overline{z}}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\overline{h}}{h} $$
Ist das so richtig, wenn ja, wie begründe ich jetzt, dass dieser Grenzwert nicht exisitiert?
Wäre eine Fallunterscheidung zwischen einem reellen und imaginären h notwendig und beim nichtübereinstimmen dieser exisitiert der Grenzwert nicht?
A4)
M = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) und f((x+iy)= (ax+by)+i(cx+dy). Wie muß M sein damit f \( \mathbb{C}\)-linear ist?
Hier weiß ich irgendwie gar nichts...
