Begründen und errechnen, dass folgendes Integral existiert: x*ln(x^2+1)

Question

$$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ x*ln(x^{ 2 }+1) }  $$

Wie fang ich an? Bin noch nicht so gut in Integralrechnung drinnen und mich verwirrt die Mischung zwischen Partialerintegration und Integration durch Substitution.

Im Integralrechner wird leider kein Schritt für Schritt-Weg angezeigt. :/

Danke für eure Hilfe ♥

Habe versucht ln(x^2+1) also u zu bestimmen und x als v. Kommt aber nur ein schwieriger Bruch wieder raus.

Answer 1

führe zuerst die Substitution \(z= x^2+1\) durch. Falls die Stammfunktion von \(\ln(z)\) nicht bekannt ist, nachschlagen, gibt auch meist eine Erklärung zu (über partielle Integration).

Gruß

Comments

und was mach ich mit der multplikatin mit x?? :(

man darf doch nicht erst das eine und dann das andere berechnen, man bräuchte doch die partielle integration

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Du hast da einfach das \(dx\) im Integral weggelassen; wohl weil Du meinst, das bedeutet nix. Es ist aber \(dz=2x\,dx\). Damit ist dann: $$\int x\ln(x^2+1)\,dx=\frac{1}{2}\int\ln z\,dz$$ Wegen der Grenzen musst Du noch nachdenken.

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wo ist denn das x bei dir verschwunden?

Durch die Substitution erreiche ich doch erstmal :

$$ \frac { 1 }{ 2 } \int { x*ln(u)\quad \frac { du }{ 2x }  }  $$

weiter kommich irwie nicht, wenn ich weiter mach ist ja dauernd eine mischung von x und u's da

danke für deine antwort♥

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sorry bin müde :D das x hat sich ja weggekürzt, schreibe morgen mal meine lösung x)

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Hallo ihr lieben x)

also ich hab jetzt raus:

$$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2 }  } *\quad ln({ x }^{ 2 }+1)\quad -\quad \frac { ln({ x }^{ 2 }+1) }{ 2 }  $$

Hatte noch mehr zusammgefasst jedoch ist dann nur noch $$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }  } *\quad ln({ x }^{ 2 }+1)\ $$

übrig geblieben. Ist das korrekt?

Der Integralrechner spuckt was anderes raus, aber er kriegt die Schritt für Schritt integration nicht hin, wobei das Ergebnis trotzdem stimmen sollte.

) war die letzte klausur aufgabe und könnte in der nachklausur für donnerstag dran kommen.

Liebe Grüße♥

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ok habe das Ergebnis vom Integralrechner abgeleitet und es kommt das ursprüngliche raus.

Das heißt mein ergebnis ist falsch aber wie kommt man darauf:

-x^2/2 + 1/2*(x^2+1)*ln(x^2+1) -1/2

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Wo bleibt die Substitution. Du machst irgendwie keinen Ansatz in diese Richtung.

Aus dem Gastbeitrag hast du ja schon diese Umformung:

$$ \int \limits_0^1 x\ln(x^2+1)dx = \int \limits^2_1 \frac{\ln(z)}{2} dz = \left [\frac{1}{2}(z\ln(z)-z) \right ]^2_1$$

Grenzen einsetzen und ausrechnen schaffst du bestimmt selbst. Hast du eventuell konkrete Fragen zu einem der Schritte?

Integralrechner sind zwar nützlich aber können genau so schädlich sein wie der exzessive Gebrauch vom Taschenrechner fürs Kopfrechnen.

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moment ich stelle mein Blatt rein x) ich glaub ich mach dann ein fehler bei der rück sub.

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Oh moment sehe grade selber einen fehler bei der rücksub.

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ok hab jetzt die lösung :D

hätte gestern nacht nicht so lange machen sollen, habe statt am ende nur 1/2 u zurück zu sub. irwie 1/2 ln(u) gemacht *kopfschüttel* so viel frust ganz um sonst.

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kurze frage in der klausur steht begründen sie und errechnen sie dass das integral existiert,

was meinst was er mit begründen meinen könnte?
Also schätze mal mit worten erklären warum das integral existiert oder?

Also gibt es etwas das man eindeutig schon vorher sieht, dass das Integral exisitert?

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und, wenn ich die Werte einsetzte dann hab ich ja als ergebnis

ln(2) - 0,5*ln(1) - 0,5

wenn man ja keinen Taschenrechner benutzen kann, dann wäre das die lösung oder?

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bzw. da ln(1)=0
ergibt sich ln(2)-0,5

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Gut dann hat es ja funktioniert ;).

Und ja man sieht es eigentlich sofort: die Funktionen \( f(x) = x\) und \(g(x) = \ln(x^2+1) \) sind auf [0,1] integrierbar und somit auch deren Produkt.

Answer 2

Mit partieller Integration geht es auch:
$$ \int _{ 0 }^{ 1 } x \cdot \ln\left(x^{ 2 }+1\right) \text{ d}x = \\ \biggl[\frac 12\cdot x^2 \cdot \ln\left(x^{ 2 }+1\right) \biggr]_0^1 -  \int _{ 0 }^{ 1 } \frac 12\cdot x^2 \cdot \frac{2x}{x^{ 2 }+1} \text{ d}x = \\ \biggl[\frac 12\cdot x^2 \cdot \ln\left(x^{ 2 }+1\right) \biggr]_0^1 -  \int _{ 0 }^{ 1 } \frac{x^3}{x^{ 2 }+1} \text{ d}x = \dots $$Im Vergleich zum Weg über die Substitution scheint der Aufwand deutlich größer.

Comments

welcher Aufwand ist größer x) die substiution?