Ungleichung mit Fakultät. Beweise, dass n! >> c^n ist.

Question

Sei c eine beliebige, konstante, reelle Zahl grösser 1. n gehe gegen unendlich. Ordnen sie die 5 Terme nach ihrer Wachstumsgeschwindigkeit, d.h. welcher dominiert bei grossem n welche anderen und in welcher Reihenfolge:

n!     n^c   c^n   c   n^n

Reihenfolge wurde angegeben:   n^n >> n! >> c^n >> n^c >> c

Ich muss jetzt alle beweisen mit:

Existiert n0 s.d. für alle n grössergleich n0 z.b.  n! >> c^n

Ich konnte alle anderen beweisen aber bei n! >> c^n komme ich nicht auf ein n0.

Comments

EDIT: Ungleichheitszeichen. Meinst du mit

>>

einfach >

oder ≥

?

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Anmerkung: Mit ">>" meint man manchmal auch "viel größer als" bzw. "bedeutend größer als".

Answer 1

zunächst gibt es ein k aus IN mit k>c . Dann gibt es ein m aus IN mit m > k^k  > c^k

Und für n=m gilt dann ja  zunächst  n! = m! ≥ m > c^k

und dann mit Induktion für alle n > m falls  n ! > c^n

auch (n+1)! = n! * ( n+1) > c^n * (n+1) ≥ c^n * m   ( weil n+1>m)

≥ c^n * c^k = c ^n+k  ≥ c ⁿ⁺¹     q.e.d.

Answer 2

Benutze (n/2)^{n/2} ≤ n! ≤ n^n

n! > c^n

(n/2)^{n/2} > c^n

(n/2)^{1/2} > c

n/2 > c^2

n > 2*c^2