Wieso muss bei Senkrechten das Produkt beider Steigungen -1 ergeben?

Question

Mir ist bekannt, dass für die Bereichnung von m₂

 m₁ * m₂ = -1 gilt und somit -> m₂ = -1 / m₁

Also m₁ = 3 heißt m₂ = -1/3

Aber wieso muss jetzt einfach erklärt diese -1 herauskommen? Also tan(45) ergibt 1, aber wieso dann die -1?

Und zwischen den beiden orthogonalen Winkeln ist der Schnittwinkel 90°, die beiden Steigungswinkel somit 45°, also = 1... Und dass die orthogonale Gerade zwingend die sinkende Gerade (-45° -> -1) ist ja auch nicht unbedingt gegeben, wieso also die -1 und wie formuliert man das kurz und knackig?

Answer 1

Wenn du vom Schnittpunkt der Geraden eine Linie um 1 nach rechts zeichnest und von dort aus 

- um m₁ nach ober zur steigenden Geraden und 

- um |m₂| nach unten zur fallenden Geraden verbindest,

erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h = 1

Höhensatz -> h² = p • q -> 1 = m₁ • (-m2) ....

Answer 2

wenn die senkrecht sind,  gilt in dem Dreieck, das aus den beiden
Steigungsdreiecken gebildet wird , der Höhensatz
rot*grün = -1    weil rot und grün verschieden VZ haben.

Comments

Habe das gerade mit dem Geozeichner erstellt: 

~draw~ gerade(-3|-3 3|3);gerade(-3|3 3|-3);strecke(0|0 1|0);polygon(0|0 1|0 1|1)#;polygon(0|0 1|0 1|-1)#;text(0.25|-0.15 "1");text(0.9|0.5 "p");text(0.9|-0.5 "q");zoom(3);aus ~draw~

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Man könnte noch ändern und m1 und m2 hinter p und q
schreiben

p ( = m1)
q ( = m2 )

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Du meinst so: 

~draw~ gerade(-3|-3 3|3);gerade(-3|3 3|-3);strecke(0|0 1|0);polygon(0|0 1|0 1|1)#;polygon(0|0 1|0 1|-1)#;text(0.25|-0.15 "1");text(0.9|0.5 "p = m1");text(0.9|-0.5 "q = m2");zoom(3);aus ~draw~

Und wieder bewiesen, diese Ergänzung hat mich nur 5 Sekunden gekostet :) viel schneller als Bilder hochzuladen ;)

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Mit Geozeichner oder Tex werde ich mich nicht mehr beschäftigen.
Handschriftliche Rechenwege oder Skizzen und dann eingescannt
sind für mich am einfachsten.

Der Plotter, den du eingebaut hast ist eine sehr gute Idee gewesen.
Leider " hakelt " er manchmal bei mir und verursacht deutlich
mehr Arbeit.
Ich meine syntaktisch richtige Eingaben gemacht zu haben und die
Grafik wird nicht angezeigt.
Aber wegen mir nichts mehr ändern.

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Falls es mal nicht klappt, mir bescheid geben, damit ich den Fehler erkennen kann. Andernfalls kann ich nur raten :)

Answer 3

Hi, ich weiß jetzt nicht auf welchen Stand du mathematisch gesehen bist, aber wenn m₁ und m₂ senkrecht zueinander sind, dann gilt:

$$m_1 \cdot m_2 = tan(\alpha ) \cdot tan(\alpha +90°)$$

$$=\frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )} \cdot \frac{sin(\alpha +90°)}{cos(\alpha +90°)}$$

$$ = \frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )} \cdot \frac{cos(\alpha )}{-sin(\alpha )} = -1 \ .$$

Hier muss man natürlich die Fälle rausnehmen, damit der Nenner nicht 0 wird. Denn eine Steigung, die senkrecht nach oben/unten geht, ist schließlich auch nicht definiert.