Muss die 2. Bedingung eines Untervektorraums für alle Probeeinsetzungen gelten?

Question

ich verstehe diese Untervektorräume nicht so ganz. Zum Beispiel habe ich folgenden Unterraum von ℝ²:

U = { x₁ , x₂ ∈ ℝ² | x₁ - 2* x₂ = 0}

Ist das nun ein Unterraum von ℝ2?

1. Regel: U ≠ {}. 

Ist erfüllt, da 0 - 2* 0 = 0.

2. Regel: u₁ , u₂ ∈ U ; u₁ + u₂ ∈ U.

Hier komme ich nicht weiter. Reicht es, wenn ich nur zwei Beispielvektoren finde für die die 2. Regel gilt? Was ist mit den Vektoren für die das nicht gilt?

Zum Beispiel klappt es mit diesen Vektoren:

u₁ = (²₁) und u₂ = (⁴₂).

Hier aber klappt es nicht:

u₁ = (¹₁) und u₂ = (¹₁)

 

Answer 1

Wenn du Vektoren findest für die es nicht gilt, dann gilt es nicht generell und damit hast du dann keinen Untervektorraum.

Comments

Im Allgemeinen hat Der_Mathecoach recht. Allerdings hast du in deiner Frage einen Fehler gemacht.

Es ist selbstverständlich, dass es für deine Vektoren (hier v und w genannt) nicht klappt:

v,w := {1,1}

Diese musst du nicht überprüfen, da v,w ∉ U sind. (1 - 2 ≠ 0, daher ist {1,1} kein Element aus U)

Also wie weißt du jetzt nach, dass dies ein Untervektorraum von R² ist? Du musst lediglich die Unterraum-Axiome beweisen. Dies geht in deinem Beispiel so:

1. U ≠ ∅

2. v, w ∈ U ⇒ v + w ∈ U

3. v ∈ U, λ ∈ ℝ ⇒ v * λ ∈ U

 

Zu 1:

Das hast du schon richtig gesehen:

Da das Element {0,0} ∈ U, ist U ≠ ∅

Zu 2:

v := {v₀,v₁}, w := {w₀,w₁} ∈ U (wobei durch die Bedingung gilt: v := {2v₁,v₁}, w := {2w₁,w₁}

x := v + w = {v₀ + w₀,v₁ + w₁} = {2*(v₁ + w₁),v₁ + w₁} = {2x₁,x₁}

⇒x₀ - 2x₁ = 0

⇒v + w ∈ U

Zu 3:

v := {2v₁,v₁} ∈ U, λ ∈ ℝ

x := v * λ = {2v₁ * λ,v₁ * λ} = {2x₁,x₁}

⇒ x₀ - 2x₁ = 0

⇒ v * λ ∈ U

Also: U ist ein Untervektorraum von R²

 

Denke immer daran: Zum beweisen, dass es kein Untervektorraum ist, musst du lediglich ein Beispiel finden, bei dem es nicht geht. Sonst musst du für jedes Element zeigen, dass die Axiome erfüllt werden, also immer allgemein bleiben.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!