Wie lauten die Darstellung der Vektoren v und w bezüglich der Basis E?

Question

Ein schiefwinkliges Koordinatensystem sei durcnh die Basis B aus

\( \vec{b1} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}; \vec{b2} = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}; \vec{b3} = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)

gegeben. Bezüglich dieses Koordinatensystems werden die Vektoren v und w dargestellt durch:

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}; \vec{w} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)

a.) Wie lauten die Darstellung der Vektoren v und w bezüglich der Basis E aus Einheitsvektoren?

b.) Welche Länge haben v und w?

Wie lautet die Darstellung der Vektoren \( \vec{v} \) und \( \vec{v} \) aus Aufgabe 3.1 in einem Koordinatensystem mit der Basis C aus

\( \vec{c1} = \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}; \vec{c2} = \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}; \vec{c3} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Anmerkung: Vektoren (hier fett) mit Pfeilen versehen resp. in Spalten abschreiben!

Die Komponenten von v und w geben an, welche Vielfachen der Basisvektoren zu addieren sind. Das kann man nun vektoriell rechnen. Dann im üblichen Koordinatensystem Längen nach Pythagoras berechnen.

v = 2*(1 0 1) + 1 *(1 1 0) = (2 0 2) + (1 1 0) = (3 1 2)

Länge |v| = √(9+1+4) = √14

w = 1*(1 0 1) - 1(0 1 1) = (1-0  0-1  1-1) = (1 -1 0)

Länge |w| = √(1+1) = √2

Comments

Ansatz für v = (a|b|c) im neuen Koordinatensystem

(3 1 2) = a*(-1 0 1) + b*(0 1 -1) + c*(1 -1 1)

Du bekommst komponentenweise die Gleichungen

3= - a + c          (I)

1=       b - c          (II)

2 = a - b + c         (III)

------------------ (III) + (II)

3 = a 

(I) 3 = -a + c

3 = -3 + c

6 = c

(II) 1 = b -6

7=b

Vektor v in der neuen Basis v = (3 7 6)

Kontrolliere die Rechnungen bisher. Dann kannst du den Teil mit w bestimmst selbst noch ausrechnen. 

 

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wäre es dann so?

 

1= - a + c          (I)

-1=       b - c          (II)

0 = a - b + c         (III)

------------------ (III) -(II)

-1 = - a + 2c

1 = a + c

---------------plus

0 = 3c

c=3/0=1

von hinten her einsetzen.

3 = -a + 1

a = 1 - 3 = -2

1 = b-1

b=0

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Habe gerade einen Vorzeichenfehler in meiner Rechnung gesehen und rot korrigiert.

Deine Rechnung

1= - a + c          (I)

-1=       b - c          (II)

0 = a - b + c         (III)

------------------ (III) +(II)

-1 =  a 

von hinten her einsetzen.

in (I) 1 = 1 + c 

0=c

(II) -1 = b

w = (-1|-1|0) ist w in der neuen Basis.