L'Hospital hier möglich?

Question

Liebe Leute,

ich schreibe am Montag eine Mathe-Klausur und komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter. Berechnet werden soll der Grenzwert gegen + und der Grenzwert gegen - unendlich. Die Funktion lautet: (3-2x)/e^{x}. Theoretisch kann man ja die Regel von L'Hospital anwenden, da der Zähler bei "x gegen + unendlich" gegen - unendlich und der Nenner gegen + unendlich geht. Bei "x gegen + unendlich" komme ich auf 0, da der e^{x}-Term überwiegt. Bei "x gegen - unendlich" komme ich auf - unendlich, da e^{x} gegen null geht und (3-2x) abgeleitet -2 ist. Die Lsg. ist aber + unendlich, warum???

Vielen, vielen Dank für eure Kommentare!!!

Comments

Man kann das sicher alles rechnerisch machen, aber da du den Fall gegen "+ Unendlich" auch eher argumentativ gemacht hast, kann ich das ja auch mal für den Fall "- Unendlich" tun:

Wenn du in

$$ \frac{3-2x}{e^x}$$

"- Unendlich" einsetzt, also (zu spekulativen Demonstrationszwecken) eine sehr große negative Zahl, wird der Zähler schon mal positiv und umso größer, je größer deine eingesetzte Zahl ist. Der Zähler geht also schon mal gegen "+ Unendlich".

Wenn wir "- Unendlich" in den Nenner einsetzen, strebt das e^x gegen 0, ist dabei aber positiv (denn der Graph der e-Funktion zeigt, dass die Funktion von "oben" kommt). Positiv geteilt durch positiv sorgt schon mal dafür, dass unser Ergebnis ebenfalls positiv sein wird. Wenn wir also unseren sehr großen Wert aus dem Zähler gegen unseren Wert, der fast Null ist, aus dem Nenner teilen, wird unser Zähler noch größer.

Somit wird der Grenzwert bei "+ Unendlich" liegen.

Ich halte nicht ganz so viel von so einer Herangehensweise, aber vielleicht hilft dir das ja trotzdem, um mathematisch berechnete Grenzwerte zu überprüfen. :P

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@yukawah
Die Frage war weshalb " einfache Überlegungen " und l´Hospital
andere Ergebnisse liefern.

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Hier liegt der Fall

$$\frac{\infty}{0}$$

vor, also darf man L'Hospital nicht anwenden. Es macht keinen Sinn das damit vergleichen zu wollen.

Hatte das auch extra als Kommentar und nicht als Antwort geschrieben, weil ich nur was kommentieren und nicht auf die eigentliche Frage antworten wollte. :P

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Richtig. Hatte ich übersehen.

Answer 1

$$ \lim_{x\to\infty} \frac{3-2x}{\text{e}^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{-2}{\text{e}^x} = 0 $$
Zur anderen Seite kannst Du l'Hospital nicht direkt anwenden.

Comments

Zur anderen Seite kannst Du l'Hospital nicht direkt anwenden.

Die Frage ist : warum ?

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Hier noch die andere Seite mit der Regel von de l'Hospital:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3-2x}{\text{e}^x} = \lim_{x\to-\infty} (3-2x)\cdot \frac{1}{\text{e}^x} = \lim_{x\to-\infty} (-2)\cdot \frac{-1}{\text{e}^{2x}} = +\infty. $$

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l´Hosipital darf nur bei Divisionen und  den Fällen
0 / 0 bzw. ∞ / ∞ angewandt werden.

Außerdem ist die Ableitung von

( 1/e^x ) ´ = - 1 / e^x