Als ich am 14.09.2015 das Programm zum Umformen von Ebenengleichungen veröffentlicht hatte, waren auf der Seite die Rechenwege noch nicht aufgezeigt.
Insbesondere beim Bestimmen der Parameterform aus gegebener Koordinatenform ergab sich die Frage, wie man eigentlich von bspw.:
1·x - 1·y + 4·z = -4
4·z = -4 + 1·x + 1·y
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y
auf:
(x | y | z) = (0 | 0 | -1) + s · (1 | 0 | -0,25) + t · (0 | 1 | 0,25)
kommt.
Einfach "ablesen" war hier auf den Webseiten, die ich recherchiert habe, zu lesen.
Da mir das "einfach ablesen" zu wenig war, habe ich noch mal nachgedacht. Offensichtlich muss man für die Ebenengleichung die Differenzvektoren AB und AC bestimmen. Man braucht offensichtlich die Punkte A, B und C. Und genau diese wichtige Rechenschritt wird oft verschwiegen.
Die Gleichung für z kann also wie folgt verwendet werden:
Bestimmen eines Punktes A:
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (0|0|z), einsetzen von x=0 y=0
z = -1 + (-0,25)·0 + 0,25·0
z = -1
→ A(0|0|-1)
Bestimmen eines weiteren Punktes B (1|0|z):
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (1|0|z), einsetzen von x=1 y=0
z = -1 + (-0,25)·1 + 0,25·0
z = -1,25
→ B(1|0|-1,25)
Bestimmen eines weiteren Punktes C (0|1|z):
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (0|1|z), einsetzen von x=0 y=1
z = -1 + (-0,25)·0 + 0,25·1
z = -0,75
→ C(0|1|-0,75)
Ebenengleichung mit Hilfe von Vektor A und Differenzvektoren AB und AC aufstellen:
X = A + s · AB + t · AC
X = (0 | 0 | -1) + s · (1-0 | 0-0 | -1,25-(-1)) + t · (0-0 | 1-0 | -0,75-(-1))
(x | y | z) = (0 | 0 | -1) + s · (1 | 0 | -0,25) + t · (0 | 1 | 0,25) Link
Endlich kann man es nachvollziehen.
Das Spannende: Man kann beliebige Punkte wählen! Man macht es sich jedoch einfacher, wenn man x=0 bzw. y=0 wählt, da es weniger zu rechnen gibt.
Beispiel mit 3 anderen Punkten:
Gewählter Punkt A (1|3|z)
z = -1 + (-0,25)·1 + 0,25·3
z = -0,5
→ A(1|3|-0,5)
Gewählter Punkt B (4|0|z)
z = -1 + (-0,25)·4 + 0,25·0
z = -2
→ B(4|0|-2)
Gewählter Punkt C (-1|-1|z)
z = -1 + (-0,25)·(-1) + 0,25·(-1)
z = -1
→ C(-1|-1|-1)
Ebenengleichung mit Hilfe von Vektor A und Differenzvektoren AB und AC aufstellen:
X = A + s · AB + t · AC
X = (1 | 3 | -0,5) + s · (4-1 | 0-3 | -2-(-0,5)) + t · (-1-1 | -1-3 | -1-(-0,5))
(x | y | z) = (1 | 3 | -0,5) + s · (3 | -3 | -1,5) + t · (-2 | -4 | -0,5) Link
Die verschiedenen Ebenengleichungen kann man nun eingeben und mit Geoknecht zeichnen lassen. Ergebnis: Es handelt sich stets um die gleiche Ebene.
Diese Informationen sind nunmehr bei den Rechenwegen zu finden auf:
https://www.matheretter.de/rechner/ebenengleichung#koordpara
Schöne Grüße
Kai
PS: Für alle, die während der Arbeit Musik hören können, hier ein Stimmungsmacher:
https://soundcloud.com/two-in-one-dj-l-a/dj-la-live-big-day-07_11_14
;-)
