Gibt es Rechenregeln für Differenzenquotienten?

Question

Ich sitze gerade am Beweis der Aussage:
Eine Funktion f ist genau dann konvex auf C, wenn gilt:f(y) - f(x) >= ∇f(x)^T(y-x) ∀ x,y ∈ C
In der Lösung wird folgender Schritt gemacht:
lim t ↓ 0 (f(x+t(y-x))-f(x))/t = ∇f(x)^T(y-x)
Kann mir diesen Schritt jemand erklären?

Answer 1

Vielleicht ist das etwas hilfreich:

(f(x+t(y-x))-f(x))/t

Das y-x ist ja der Vektor in C, der von der Spitze von x zur Spitze von y zeigt.

und dann beschreibt f( x+t(y-x) )   sowas wie   f(x+h) bei einer reellen Ableitung.

Und damit ist   (f(x+t(y-x))-f(x))/t  der Differenzenquotient an der Stelle x in Richtung y-x.

Und für t gegen 0 also die Ableitung in Richtung y-x.

und ∇fx)^T ist der Gradient und der mal (y-x) gibt ja auch die Ableitung in Richtun y-x.