Stimmt dieser indirekte Beweis?

Question

Indirekter Beweis von ∀x∈ℝ mit x³+2x > 0 => x > 0 ist zu bilden 

Meine Antwort:

Voraussetzung: Sei x∈ℝ mit x ≤ 0 

z.Z.: x³+2x ≤ 0 <=> x(x²+2) ≤ 0

Tatsache: x² ≥ 0 --> x²+2 ≥ 0

 Man sieht  x ≤ 0          *(-1)  --> -x ≥ 0

Beides miteinander multipliziert ergibt (x²+2)(-x) ≥ 0 --> (-x)³-2x ≥ 0          *(-1)

x³+2x ≤ 0  q.e.d.

Ist das ein richtig durchgeführter indirekter Beweis?

                  

Answer 1

Die Idee hast du verstanden, aber die Formulierung ist nicht gut.

> z.Z.: x³+2x ≤ 0 <=> x(x²+2) ≤ 0

Das zeigt man durch Ausklammern von x auf der linken Seite der Äquivalenz oder durch ausmultiplizieren der rechten Seite der Äquivalenz. Aber du willst nicht die Äquivalenz zeigen, sondern lediglich, dass x³+2x ≤ 0 ist.

Weise darauf hin, dass um x³+2x ≤ 0 zu zeigen, es aufgrund des Distributivgesetzes genügt, x(x²+2) ≤ 0 zu zeigen.

Schreibe mehr: "Es ist x² ≥ 0, also auch x²+2 ≥ 0". Meiner Meinung nach reicht es, an diesen Satz sofort den Satz "Wegen x ≤ 0 ist dann x(x²+2) ≤ 0" anzuhängen. Und damit ist der Beweis schon zu Ende.