Extremwertaufgabe: Konservendose mit minimaler Oberfläche

Question

Welche Form hat eine Konservendose von 1Liter Inhalt, deren Oberfläche minimal ist ?

Answer 1

Die Konservendose hat insgesamt zwei Parameter, nämlich die Höhe h und den Radius r.

 

Für das Volumen gilt: V = πhr²

Für die Oberfläche gilt: O = O_Mantel + 2*O_Deckfläche

O_Mantel = 2πrh

O_Fläche = πr²

Daraus folgt: O(r, h) = 2πrh + 2πr² = 2π(rh+r²)

Bei bekanntem Volumen kann man nun eine Variable eliminieren (z.B. h) indem man die Formel zu

h = V/(πr²)

umstellt.

Aus der Oberflächenformel wird dann:

O(r) = 2π*(V/πr + r²)

Nun muss die Oberflächenformel nach r abgeleitet und die Ableitung mit Null gleichgesetzt werden, um ein Extremum zu finden:

O'(r) = 2π*(2r - V/(πr²)

0 = 2π*(2r - V/(πr²)

0 = 2r - V/(πr²)

2r = V/(πr²)

2r³ = V/π

r³ = V/(2π)

r = ³√(V/(2π))

Setzt man das Volumen 1dm³ ein, so erhält man:

r = ³√(1/(2π)) dm ≈ 0,54dm = 5,4cm

 

Mit der Höhe:

h = V/(πr²)

h = 1dm³/(π*(0,54dm)^2) ≈ 1,08dm = 10,8cm

 

Das Gefäß muss also eine Höhe von 10,8cm und einen Radius von 5,4cm haben. Bist du sicher, dass der Inhalt von 1l richtig ist? Ich habe noch nie eine Konservendose mit einem Liter Inhalt gesehen.

Die Probe zeigt:
πhr² ≈ π*(0,54dm)² * 1,08dm ≈ 1