Zeigen Sie, dass die Funktion im Ursprung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt

Question

Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit f(x) = x⁴ -4x³ im Ursprung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt.

Zuerst muss man doch f ''(x) Null setzen => 0 = 12x² -24x aber ich weiß nicht, wie man auflösen muss

Comments

Fragesteller meinte: Zuerst muss man doch f ''(x) Null setzen => 0 = 12x² -24x aber ich weiß nicht, wie man auflösen muss.

Das stimmt nicht, da hier ja keine Wendestelle gesucht werden soll, sondern eine Stelle auf ihre Wendestelleneigenschaft (Krümmungswechsel) untersucht werden muss! Rechne einfach \(f''(0)\) nach!

Answer 1

Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit f(x) = x⁴ -4x³ im Ursprung
einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt.

Das bei x = 0 die Krümmung 0 ist wurde hier schon berechnet
f ( x ) = x^4 - 4x^3
f ´( x ) = 4*x^3 - 12 * x^2
f ´´ ( x ) = 12 * x^2 - 24 * x
f ``( x ) = 0
x = 0

Jetzt wäre zu zeigen das
- die Funktion durch den Ursprung geht
f ( 0 ) = 0^4 - 4*0^3 = 0
( 0  | 0 )

- die Tangente bei x = 0 die Steigung 0 hat ( waagerecht ist )
f ´( x ) = 4*0^3 - 12 * 0^2 =  0
Bingo.

Alle Aufgabenteile wurden beantwortet.

Answer 2

x ausklammern:

0=x(12x-24)

Satz vom Nullprodukt anwenden:

x₁=0
12x₂-24=0

Alternativ kannst du auch die pq-Formel etc. verwenden.

Gruß

Answer 3

Hi, die Funktion besitzt mit \(x=0\) eine dreifache Nullstelle und es gilt daher \(f(0)=f'(0)=f''(0)=0\) und \(f'''(0)\ne 0.\)  Damit sind alle hinreichenden Bedingungen für das zu Zeigende erfüllt. Mehr gibt es nicht zu tun.

Answer 4

f(x) = x^4 - 4·x^3 = x^3·(x - 4)

Wer sich jetzt etwas mit Funktionen auskennt und mit vielfachheiten von Nullstellen erkennt ohne weitere Ableitung, dass die Funktion eine Nullstelle im Ursprung hat. Aufgrund der dreifachen Nullstelle ist dies ein Sattelpunkt also ein Wendepunkt mit waagerechter Wendetangente.