Schneiden sich die Ebenen E1 und E2?

Question

Hallo :) Ich brauche Hilfe bei folgenden Aufgaben:
1. Schneiden sich die Ebenen E1 und E2? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade.

\( E 1: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}{1} \\ {3} \\ {1}\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}{0} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right) \)
E2 \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {4} \\ {1}\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}{2} \\ {8} \\ {3}\end{array}\right) \)
 

Ich habe die beiden Gleichungen gleichgesetzt und nach versucht, die aufzulösen. Dabei habe ich s= 1- r rausbekommen
In meinem Mathebuch steht, dass es eine Schnittgerade gibt, wenn man nach dem Vereinfachen der Gleichung ein Ergebnis mit Variabeln bekommt. Laut Lösungsheft müssten die beiden Ebenen aber identisch sein.  

2. Bestimmen Sie die Schnittgeraden der Ebene E1 und E2

E1: \( \vec{x}=r \cdot\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) E 2: \vec{x}=r \cdot\left(\begin{array}{l}{2} \\ {0} \\ {7}\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1} \\ {1}\end{array}\right) \)

 
Ich würde gerne eine der beiden Ebenen in die Normalenform und dann in die Koordinatenform umwandeln, ich weiß aber nicht, wie ich an einen Punkt P komme.
:)

Answer 1

1) Vor dem Gleichsetzen musst du die Parameter der einen Ebene umbenennen. Das liegt daran, dass gemeinsame Punkte auf unterschiedliche Art über die zwei Ebenen erreicht werden können. Zum Beispiel ist

\(  \begin{pmatrix}0\\ 5\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \)

also \( r=1,s=1 \) wenn \( \begin{pmatrix}0 &5 &2 \end{pmatrix}^T \) über Ebene \( E_1 \) erreicht werden soll, aber

\( \begin{pmatrix}0\\ 5\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}-\frac{5}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\ 8\\ 3 \end{pmatrix} \)

also \( r=-\frac{5}{3},s=\frac{1}{3} \) wenn \( \begin{pmatrix}0 &5 &2 \end{pmatrix}^T \) über Ebene \( E_2 \) erreicht werden soll.

Answer 2

2) Du musst einfach für r und s jeweils eine Zahl einsetzen, am einfachsten r=s=0

1) wenn du in eine der Ebenen den Term s für s einsetzt, kannst du ausmultiplizieren, dann r ausklammern und die konstanten Vektoren zusammenfassen.

Die Gleichung, die sich ergibt, ist die Gleichung der Schnittgeraden.