Seien a,b E N. Zu zeigen: 7| (3a+b) <=> 7|(122a+b)

Question

7| (3a+b) <=> 7|(122a+b)

Wie kann ich das beweisen? Ich habe ein Beispiel gefunden, wenn a=3, b=5 ist der Beweis erfüllt.

Comments

Was meinst du denn selbst? Genügt ein Beispiel für einen Beweis?

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naja, wirklich mathematisch ist es nicht

Aber ich kann ja einen Beweis durch einen Widerspruch widerlegen...

Weiß mir leider auch nicht anders zu helfen.

ich dachte eventuell, dass ich über 7=(3a+b) * n bzw. 7|(122a+b)*n eine Beweis führen kann

Answer 1

7| (3a+b) <=> 7|(122a+b) 

122 = 7*17 + 3

und 7| (7*17)

Daher

122a + b = 7*17a + 3a + b

7 | (3a+b) <==> 3a + b = 7m, m € N

<==> 122a + b = 7*17a + 3a + b = 7*17a + 7m = 7(17a + m)

<==> 7 | (122a + b)  qed.

Comments

super,

mir ist nur der Schritt mit der Erweiterung von m nicht ganz klar.

Wieso ist 3a+b =7m? ich dachte (3a+b) * n (n€N) = 7

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3a+b ist durch 7 teilbar genau dann wenn es eine Zahl m Element N (eigentlich nimmt man in der Regel m Element Z, kannst du im Beweis noch korrigieren) gibt mit

3a + b = 7 * m

Grund 3a + b muss den Faktor 7 enthalten.

Also ist 3a + b = 7 * (irgendeine ganze Zahl)

Diese Zahl nenne ich oben m.

Answer 2

3 und 122 haben bei ganzzahliger Division durch 7 den gleichen Rest.

Also haben auch 3a und 122a bei ganzzahliger Division durch 7 den gleichen Rest.

Also haben auch 3a+b und 122a+b bei ganzzahliger Division durch 7 den gleichen Rest.