Der Ausdruck \( r^s \) bedeutet:
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\( \underbrace{r\cdot r\cdot\ldots\cdot r}_{s\text{ Faktoren}} \) falls \( s \) eine natürliche Zahl ist (also 1, 2, 3 etc.)
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\( \frac{1}{r^{-s}} \) falls \( s \) eine negative ganze Zahl ist (also -1, -2, -3 etc.)
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\( \sqrt[z]{r^{n}} \) falls \( s \) eine rationale Zahl \( \frac{z}{n} \) mit ganzem \( z \) und natürlichem \( n \) ist, und \( r \) eine nicht-negative reelle Zahl ist.
Punkt 1 kann man als Ursprung der Potenzschreibweise betrachten. Aus dieser Festlegung der Potenzschreibweise ergeben sich Gesetze, wie mit Potenzen gerechnet werden kann (sog. Potenzgesetze, z.B. \( 3^5\cdot 3^6=3^{5+6}=3^{11} \) oder \( 2^3\cdot 5^3=(2\cdot 5)^3={10}^3 \)).
Man hat sich nun gefragt, ob man Exponenten zulassen soll, die keine natürlichen Zahlen sind. Die ursprüngliche Festlegung, dass der Exponent angibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird, ist dann nicht mehr sinnvoll. Was soll es denn bitteschön bedeuten, dass eine Zahl -7 mal mit sich selbst multipliziert wird?
Deshalb ist man einen anderen Weg gegangen: man verlangt, dass die Potenzgesetze für negative ganze Exponenten gelten müssen und sucht auf dieser Basis nach einer passenden Definition für \( r^s \) für negative ganze Exponenten. Dadurch gelangt man zu Punkt 2.
Mit der gleichen Überlegung gelangt man auch zu Punkt 3. Allerdings muss man dazu die Basis einschränken. Problem ist nämlich
\( -2 = \sqrt[3]{(-8)^1} = (-8)^\frac{1}{3} = (-8)^\frac{2}{6}= \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2 \)
