Beweisen der Konvergenz der rekursiv definierten Folge: a1=2, an+1= 3 / (4-an)

Question

a₁=2
a_n+1= 3 / (4-a_n)

Dass 1 die unter Schranke ist habe ich bereits nachgewiesen, jedoch muss ich auch noch die Monotonie zeigen, damit ich weiß dass die Folge konvergiert.
Durch simples Einsetzen merkt man schnell dass die Folge monoton fallend ist, jedoch komme ich auf keinen Beweis mit der üblichen Vorgangsweise: a_n+1 < a_n

Answer 1

meinst du $a_{n+1} = \frac{3}{4-a_n}$?

Was hindert dich daran zu zeigen, dass

$$\frac{3}{4-a_n} < a_n$$

gilt?

Gruß

Comments

Ja meinte ich natürlich ;)

Durch Umformen komme ich dann auf die quadratische Ungleichung:

a_n² - 4a_n + 3 < 0

woraus ich a₁ = 3 und a₂ = 1 erhalte.

Was heißt das jetzt für mich? Kann mit dem Ergebnis irgendwie nichts anfangen.

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Das ist aber eine komische Lösung für eine Ungleichung (du hast einfach eine Gleichung draus gemacht und die Nullstellen berechnet).Richtig wäre, dass die Ungleichung gilt für $1 < a_n < 3$.
Passt das mit deinen Schranken überein? Dann sollte die Monotonie geklärt sein oder?

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Ja die Schranken stimmen, aber was mir das jetzt über die Monotonie aussagt versteh ich noch nicht...

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Was hast du denn mit der Ungleichung gezeigt?

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Dass a_n irgendwo zwischen 1 und 3 liegt, wobei diese nicht mehr eingeschlossen sind.

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Nein, damit ist gezeigt, dass $a_n$ zwischen 1 und 3 liegt genau dann, wenn $a_{n+1} < a_n$.