Eigenschaft von Betrag beweisen

Question

I x-y I ≥ I IxI - IyI I

Ich würde gerne diese Eigenschaft des Betrages beweisen, komme allerdings nicht weit. Man soll die eigenschaft mithilfe von Fallunterscheidungen beweisen.

x-y ≥0  ⇒ Fall 1) IxI - IyI ≥ 0           Fall 2) IxI - IyI < 0

x-y < 0 ⇒ Fall 3) IxI - IyI ≥ 0           Fall 4) IxI - IyI < 0

Fall 1) x-y ≥  IxI - IyI

Fall 2) x-y ≥ - IxI + IyI

Fall 3) -x+y ≥ IxI + IyI

Fall 4) -x+y ≥ -IxI + IyI

...aber ich müsste noch zusätzlich Fallunterscheidungen von IxI und IyI machen und das wirkt auf mich sehr umständlich. Ich glaube nicht das dieser Schritt mich zum Ziel bringt ohne einen riesen Umweg. Kann mir jemand beim Beweis helfen?

Comments

Schau mal hier bevor du dein Fallmassaker beginnst :):

https://www.mathelounge.de/274972/erklarung-beweis-umgekehrte-dreiecksgleichung

Answer 1

wenn du unbedingt was mit Fallunterscheidungen machen

willst oder musst, reichen wohl 6 Fälle.

Etwa so:

1. Fall   x≥0  ^  y≥0  also | x | = x und |y| = y

Dann ist   I x-y I ≥ I IxI - IyI I  äquivalent zu  I x-y I ≥ I x- y | I
also ok wegen Gleichheit.

2. Fall      x<0  ^  y≥0  ^  | x |  ≥ y
Dann ist   I x-y I ≥ I IxI - IyI I  äquivalent zu  I  x-y I ≥ I -x - y I 
und der  Term im linken Betrag ist negativ also -x+y
und rechts wegen   | x |  ≥ y ist es im Betrag positiv, also

bleibt zu prüfen  -x+y  ≥  -x - y  
                                   y  ≥ -y   was für diesen Fall  (  y≥0  ) stimmt.

3. Fall    x<0  ^  y≥0  ^  | x |  < y  so ähnlich ..

4. Fall     x ≥0  ^  y<0  ^  | x |  ≥ y

5. Fall        x ≥0  ^  y<0  ^  | x |  < y

6. Fall ist wieder einfach   x<0 ^ y <0

Dann ist   I x-y I ≥ I IxI - IyI I  äquivalent zu  I x-y I ≥ I -x+ y |

aber wenn man einen Term mit -1 multipliziert ändert sich
sein Betrag nicht. Hier also wieder alles klar wegen
Gleichheit.

Answer 2

Man soll die eigenschaft mithilfe von
Fallunterscheidungen beweisen.

Wenn das der Aufgabentext ist sollst du
Fallunterscheidungen vornehmen.

Ansonsten meine Überlegungen

Falls ich keinen Fehler gemacht habe kommt heraus :
Die Ausgangsbehauptung ist stets wahr.

Comments

Ich sehe gerade. In der 5.Zeile muß es heißen
-2xy ≥ -2 | x|  * | y |
Das Relationszeichen muß in der nächsten
Zeile umgedreht werden.
Am Ergebnis ändert sich allerdings nichts.