prüfen wie die gerade g und die Ebene e zueinander liegt

Question

wie prüft man wie die Gerade g und die Ebene E zueinander liegen? Kann mir das jemand für ein besseres Verständnis Schritt für Schritt vorrechnen? Danke schonmal

g:x=(2 1 4)+r*(3 1 2); E:x₁+x₂-2x₃=3

Answer 1

Hi,

wenn du die Gerade in die Ebene einsetzt kannst du aus der Anzahl der Lösungen auf die gegenseitige Lage schließen.

$$(2+3r) + (1+r) - 2\cdot(4+2r) = 3 $$

Durch zusammenfassen der linken Seite erhalten wir am Ende

$$ -5 = 3 $$

was offensichtlich falsch ist (insbesondere fällt das \(r\) weg). Somit kann es keine Lösung geben, was bedeutet, dass sich die Gerade und die Ebene nicht schneiden (die Gerade ist also echt parallel zur Ebene).

FYI: Damit du auch weißt was die anderen Fälle bedeuten:

Wenn nach dem Einsetzen die Gleichung nach \(r\) auflösbar ist, dann haben wir genau eine Lösung was bedeutet, dass die Gerade die Ebene in einem Punkt durchstößt (also einen Schnittpunkt).

Wenn nach dem Einsetzen und Zusammenfassen eine wahre Gleichung (im Gegensatz zu dem obigen Ergebnis, sowas wie 1 =1, etc.) rauskommt, dann bedeutet dies, dass wir unendlich Lösungen haben (bezogen auf \(r\)) und somit unendlich Schnittpunkte. Dies ist so zu verstehen, dass die Gerade in der Ebene liegt.

Gruß

Comments

Wie würde denn das zusammenfassen der linken Seite als Rechnung aussehen?

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Klammer ausmultiplizieren und dann addieren und subtrahieren.