Bijektive Abbildung und Verknüpfungstafel:

Question

ich habe Fragen zu einer Aufgabe:
Sei S₃ := Bij({1, 2, 3}) die Menge der bijektiven Abbildungen auf der Menge {1, 2, 3}.
(a) Geben Sie alle Abbildungen in S₃ an, indem Sie deren Wertetabellen angeben.
(b) Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für die Gruppe (S3, id, °).

Zu (a):
Es gilt die Vorschrift: f: M → S₃ wenn ich das richtig verstanden habe. Sei x nun ein Element aus M und f(x) ein Element aus S₃. Dann würde für die Wertetabelle folgen:
x Element M | f(x) Element S₃
         1         |         f(1)
         2         |         f(2)
         3         |         f(3)
Stimmt meine Lösung so?

Zu (b):
Hier war meine Überlegung folgende:
°     f(1)      f(2)      f(3)

1   1°f(1)   1°f(2)   1°f(3)

2   2°f(1)   2°f(2)   2°f(3)

3   3°f(1)   3°f(2)   3°f(3)
Beschreibung: Ich verknüpfe den jeweiligen x Wert aus der Menge M mit dem f(x) Wert aus der Menge S₃.
Dies ist nur eine Überlegung, da ich nicht weis, was nun das "id" in der Gruppe (S3, id, °) mir sagen soll. Ich vermute nur, dass es eine identische Abbildung sein soll?

Florian T. S.

Comments

Keiner gerade online wo weiter wüsste? :-/

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Tipp: S₃ hat sechs Elemente. id ist die Abbildung, die jedes Element der Menge {1,2,3} auf sich selbst abbildet.

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Sechs Elemente?

f: 1 -> f(1)
f: 2 -> f(2)
f: 3 -> f(3)

Und wieder rückwärts,
f(3) -> 3
f(2) -> 2
f(1) -> 1

oder wie kommt man auf sechs Elemente?

LG :-)

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Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten die Menge {1,2,3} auf sich selbst abzubilden, wie der Gast schon beschrieben hat. Die offensichtliche Möglichkeit ist die Identität (ebenfalls vom Gast schon erwähnt).

\(Id(1) = 1, \ Id(2) = 2, \  Id(3)=3\)

eine weitere Möglichkeit wäre

\(f_1(1) = 2, \ f_1(2) = 3, \ f_1(3) = 1\)

Bijektionen endlicher Mengen sind Permutationen dieser Mengen.

Die restlichen 4 kriegst du bestimmt selbst raus.

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Jetzt verstehe ich, dankeschön Yakyu.

Könntest du mir noch ein Beispiel (Würde mir schon reichen) zur (b) geben? Ich glaube nicht, dass meine Tabelle so stimmt (Intuitiv irgendwie...)

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Die Tafel in b) hat 6 x 6 Einträge. Bestimme zuerst alle 6 Elemente in a) und gebe ihnen Namen. Dann rechne die Kompositionen aus. Natürlich ist \( Id \circ f = f \circ Id = f \) für alle \(f \in S_3\).

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Wertetabelle habe ich nun fertig.
Die Verknüpfungstabelle habe ich auch erstellt.

Id verknüpft mit f4 ergibt wiederum f4, dass verstehe ich.

Jedoch ist mir unklar wie ich z.B. f2 verknüpft mit f4 ermitteln kann.
Zuvor habe ich einfach f1(f1(x) notiert, dann x = 1 eingesetzt,
und daraus 1 gefolgert. Jedoch muss ich ja jedes x berücksichtigen,
daher kann die Lösung für f1(f1(x) nicht stimmen..

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Ahh ich glaube ich habs verstanden :-D

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Frage hat sich erledigt. Würde dir gerne die beste Antwort verleihen Yakyu, wenn du Lust hast kannst du einfach irgendetwas als Antwort posten :-)

Dankeschön