Zeigen Sie die Ungleichung: I IxI - IyI I ≤ Ix+yI?

Question

die Frage ist (zeigen sie I IxI - IyI I ≤  Ix+yI

ich weiss nicht von wo soll ich anfangen

Grüße

Comments

Gehört auf die rechte Seite nicht ein Minus?

---

Nein So ist die Funktion richtig

---

Ok, natürlich gilt diese Ungleichung auch.

Answer 1

Für alle \(x,y\in\mathbb R\) gilt offenbar \(-\vert xy\vert\le xy\)$$\Leftrightarrow x^2-2\vert xy\vert+y^2\le x^2+2xy+y^2$$$$\Leftrightarrow(\vert x\vert-\vert y\vert)^2\le(x+y)^2$$$$\Leftrightarrow\big\vert\vert x\vert-\vert y\vert\big\vert\le\vert x+y\vert.$$

Answer 2

I IxI - IyI I ≤  Ix+yI  | quadrieren

( IxI - IyI )^2  ≤ ( x+y )^2
x^2 - 2*|x| *|y| + y^2  ≤ x^+ 2xy + y^2
- 2* | xy | ≤ 2xy  | : -2
- 2* | xy | ≤ 2xy

| xy | ≥ xy   stets wahr