Beweise für beliebige nichtnegative a,b ∈ ℝ gilt: (2/((1/a)+(1/b)))^2 ≤ ab ≤ ((a+b)/2)^2

Question

Mein Ansatz war erstmal der:

(2/((1/a)+(1/b)))^2 ≤ ab ≤ ((a+b)/2)^2   ⇒  (2/((1/a)+(1/b)))^2 ≤ ab  ∧  ab ≤ ((a+b)/2)^2

Bei 1. komm ich auf  2ab ≤ b^2+a^2  und bei 2. auf 0 ≤ (b+a)^2

Vorausgesetzt ich habe mich nicht iwo verhaspelt, ist das ja nicht der Beweis ...

Iwelche Tipps, wie ich beim Umformen auf die richtige Spur komme ?

Answer 1

Bei 1. komm ich auf  2ab ≤ b²+a²  und bei 2. auf 0 ≤ (b+a)²   

ist doch super; denn beides  ist doch immer wahr

0 ≤ (b+a)²   stimmt immer, weil Quadrate nie negativ sind und

2ab ≤ b²+a² 

0 ≤ b²  -2ab+a² 

0 ≤ (b - a)² aus dem gleichen Grund.

 

Comments

Ok cool, war mir eben unsicher, ob es so schon als bewiesen gilt. Danke ! ;)