Question

Sei α ein Winkel mit 0 ◦ < α < 90 ◦. Zeige dass die folgende Gleichung gilt:

sin(90°-α)√(1+tan² α) =1                      

Was passiert,  wenn 90 ◦ < α < 270 ◦?

Answer 1

(1) Nach den Additionstheoremen gilt$$\sin(90^\circ-\alpha)=\sin90^\circ\cdot\cos\alpha-\sin\alpha\cdot\cos90^\circ=\cos\alpha.$$(2) Nach Definition des Tangens ist$$1+\tan^2\alpha=1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac1{\cos^2\alpha}.$$(3) Wegen \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) ist \(\cos\alpha>0\) und$$\sin(90^\circ-\alpha)\cdot\sqrt{1+\tan^2\alpha}=\cos\alpha\cdot\frac1{\cos\alpha}=1.$$