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Ich beschäftige mich gerade mit der Integralrechnung.

Das mit dem Sinn der Umkehrung der Steigung des Graphen verstehe ich und rechnen kann ich damit auch. Was ich aber nicht verstehe ist warum das Integral gerade die Fläche unter einem Graphen angibt, da das Integral von a bis b doch einfach zwei y-werte einer "normalen" Funktion voneinander abzieht. 

Also hab ich eine Funktion f(x)=x²  will hierbei nun die Fläche von x=A bis x=B wissen muss ich integrieren. Aber warum ? Ich hab doch dann einfach die Funktion F(x)= 1/3 x³ + C und davon nehme ich nun den y-wert F(B) und subtrahiere F(A). Damit bekomme ich die Differenz zweier y-Werte heraus. Aber warum ist das nun die Fläche unter meiner "Steigungsfunktion" f(x) von A nach B ? Mir fehlt da einfach das Verständnis.


Kann mir das jemand genau erklären? 

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Geh es mal andersherum an:

Wenn du dir einen Funktionsgraphen zu einer Funktion f

- vielleicht mal eher nur im 1. Quadranten -

vorstellst und dich für die Fläche zwischen x-Achse und Graph interessierst

(Es gäbe auch Gründe warum das sinnvoll ist.), und sagst ich nenne die

Flächenmaßzahl im Bereich von 0 bis x einfach mal F(x).

Dann könnte man sich für die Ableitung von F interessieren und

würde den Differenzenqoutienten bilden, etwa

(F(x+h) - F(x)) / h  

Der Zähler ist für kleines h so ein schmaler Streifen der Breite h

und der Höhe f(x).   Es spricht also einiges dafür,

dass der Differnezenquotient immer ungefähr f(x) ist und für

h gegen 0 möglicherweise sogar genau gleich f(x).

Also wäre die Ableitung F ' (x) = f(x).

Und im ersten Moment könnte man denken:

Oh ja, wenn ich also F(x) ausrechnen will, brauche ich nur eine

Funktion zu suchen (Stammfunktion), deren Ableitung f ist. Und

wenn ich dort x einsetze habe ich die Fläche unter f im Bereich

von 0 bis x.  Das stimmt so nicht, weil es immer mehrere Stammfunktionen

gibt, die sich um konstante Summanden unterscheiden.

Deshalb muss man immer F(x) - F(0) rechnen um die Fläche

von 0 bis x zu bekommen.

Das war zwar kein korrekter math. Beweis, aber vielleicht hilft es die

Sache anschaulich einzusehen.

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