Geh es mal andersherum an:
Wenn du dir einen Funktionsgraphen zu einer Funktion f
- vielleicht mal eher nur im 1. Quadranten -
vorstellst und dich für die Fläche zwischen x-Achse und Graph interessierst
(Es gäbe auch Gründe warum das sinnvoll ist.), und sagst ich nenne die
Flächenmaßzahl im Bereich von 0 bis x einfach mal F(x).
Dann könnte man sich für die Ableitung von F interessieren und
würde den Differenzenqoutienten bilden, etwa
(F(x+h) - F(x)) / h
Der Zähler ist für kleines h so ein schmaler Streifen der Breite h
und der Höhe f(x). Es spricht also einiges dafür,
dass der Differnezenquotient immer ungefähr f(x) ist und für
h gegen 0 möglicherweise sogar genau gleich f(x).
Also wäre die Ableitung F ' (x) = f(x).
Und im ersten Moment könnte man denken:
Oh ja, wenn ich also F(x) ausrechnen will, brauche ich nur eine
Funktion zu suchen (Stammfunktion), deren Ableitung f ist. Und
wenn ich dort x einsetze habe ich die Fläche unter f im Bereich
von 0 bis x. Das stimmt so nicht, weil es immer mehrere Stammfunktionen
gibt, die sich um konstante Summanden unterscheiden.
Deshalb muss man immer F(x) - F(0) rechnen um die Fläche
von 0 bis x zu bekommen.
Das war zwar kein korrekter math. Beweis, aber vielleicht hilft es die
Sache anschaulich einzusehen.
