Parametergleichung der vier Geraden die von E den Abstand 3 und von F den Abstand 6 haben

Question

Hallo ,

die Aufgabe lautet : Gegeben sind die Ebenen E: 4x₂+ 3x₃= 15 und F: 6x₁- 2x₂+ 3x₃= 15 . Die Menge aller Punkte, die von E den Abstand 3 und von F den Abstand 6 haben, liegen auf vier Geraden.

Bestimmen Sie Parmetergleichungen dieser vier Geraden.

 

An diese Aufgabe sitze ich jetzt schon knapp 2 Stunden dran. Ich bekomme es aber einfach nicht raus.

Meine Ideen sind : Mithilfe der Hesseschen Formel bekomme ich für E eine Gleichung und für F ebenfalls eine Gleichung . Die beiden Gleichung löse ich dann auf. Aber irgendwie fehlt mir noch Eigentschaften. Also auf jeden fall kann ich diese Aufgabe nicht lösen.

Comments

Die 4 Geraden bestehen ja je aus unendlich vielen Punkten. Da ist es Normal, dass man 2 Gleichungen für 3 Unbekannte hat.

Answer 1

Die 4 Geraden bestehen ja je aus unendlich vielen Punkten. Da ist es Normal, dass man 2 Gleichungen für 3 Unbekannte hat. Man kann zwei Mal eine von denen =0 setzen und so 2 Punkte von g berechnen. Danach Parameterdarstellung daraus machen.

Nun müssen alle 4 Geraden parallel sein. Deshalb genügt in den übrigen Fällen ein Punkt und dann derselbe Richtungsvektor.

Nachtrag: Rechnung zu vorgeschlagenem Weg. Bei Rechenfehlern oder besseren Rechenwegen bitte Bescheid sagen. Was fett geschrieben ist in Vektordarstellung übernehmen.

HNF = ±Abstand setzen

E: (4y + 3z - 15)/√(16+9) = ±3   |*5

1.         (4y + 3z - 15) = ±15

F: (6x - 2y + 3z -15) /√(36+4 + 9) = ±6        |*7

2.       (6x - 2y + 3z -15) = ±42

Fall ++

1.         4y + 3z - 15 = 15

2.       6x - 2y + 3z -15 = 42

Sei x=0 

 

1.         4y + 3z - 15 = 15

2.       - 2y + 3z -15 = 42 

---------------------------------Subtraktion

           6y = -27              

           y=-4.5

in 2.          9 + 3z - 15 = 42

                  3z = 48

                z= 16                 P(0|-4.5|16)

 

Sei y=0

1.          3z - 15 = 15   

2.       6x  + 3z -15 = 42

1.          ------> 3z = 30. z=10

in 2.       6x  + 30 -15 = 42

               6x = 27

             x=4.5          Q((4.5|0|10)

Da die Rechnung mit y=0 viel einfacher war, nehme ich Q als Stützpunkt für die Parametergleichung

Parametergleichung für die erste Gerade g1

g1: r = (4.5| 0| 10)  + t(4.5| 4.5| -6)

Richtungsvektor lässt sich mit *2 und dann :3 noch verschönern.

g1: r = (0| -4.5| 16)  + t (3| 3| -4)

Fall + -

1.         4y + 3z - 15 = 15

2.       6x - 2y + 3z -15 = -42

Sei y=0

1.          3z - 15 = 15   

2.       6x  + 3z -15 = -42

1.          ------> 3z = 30. z=10

in 2.       6x  + 30 -15 = -42

               6x = -57

             x=-9.5          Q((-9.5|0|10)

 

Parametergleichung für die zweite Gerade g2

g2: r = (-9.5|0|10)  + t (3|3|-4)

 

 

Fall - -

1.         4y + 3z - 15 = -15

2.       6x - 2y + 3z -15 = -42

 

Sei y=0

1.          3z - 15 = -15   

2.       6x  + 3z -15 = -42

1.          ------> 3z = 30. z=0

in 2.       6x   -15 = -42

               6x = -27

             x=-4.5          Q(--4.5|0|0)

 

Parametergleichung für die dritte Gerade g3

g3: r = (-4.5|0|0)  + t (3|3|-4)

Fall - + 

1.         4y + 3z - 15 = - 15

2.       6x - 2y + 3z -15 = 42

Sei y=0

1.          3z - 15 = -15   

2.       6x  + 3z -15 = 42

1.          ------> 3z = 0. z=0

in 2.       6x  -15 = 42

               6x = 57

             x= 9.5          Q((9.5|0|0)

 

Parametergleichung für die vierte Gerade g4

g4: r = (9.5|0|10)  + t (3|3|-4)

 

 

 

Comments

Rechnung jetzt ergänzt. Vor dem Abschreiben bitte sorgfältig nachrechnen und Fehler korrigieren.

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Dankeschön ! . Ich werde es nachschauen

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Hallo Lu,
erst einmal toll, dass du hier online einfach so Aufgabrn vorrechnest, für die, die es nicht so ganz verstehen, - wie ich bei dieser Aufgabe, ich sitze schon sehr lange daran aber fand den Lösungsweg nicht, also habr ich mal im Internet nachgeschaut und dies gefunden. Wirklich, vielen Dank.


ich verstehe nur leider nicht die Rechenschritte, die sich der  "abstands-gleichsetzung" mit der hesseschen normalenform anschlieśt  also ab "Fall ++" - was machst du da- eine Fallunterscheidung?

Generell, waas machst du in diesen Schritten und warum?
Ich fände es echt ganz toll, wenn du mir das einmal erläutern könntest, einfach in ein paar Stichpunkten..


 ,


Jonas :)

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Hallo Jonas 

vor dem ++ sind 2 Gleichungen rausgekommen, die rechts ein ± haben. Das sind jeweils die beiden Parallelebenen im richtigen Abstand. 

1.         (4y + 3z - 15) = ±15

2.       (6x - 2y + 3z -15) = ±42

Da kann man nun jeweils 2 kombinieren um eine der 4 zu Beginn beschriebenen Geraden zu bestimmen. 

Dann ist es 4 Mal die Berechnung einer Schnittgeraden 2er Ebenen (eine Grundaufgabe).

Hoffe, du kannst das nun nachvollziehen. Ansonsten Schnittgerade auf eine dir bekannte Weise berechnen.