Vektoren und Matrizen lineare Abhängigkeit

Question

als Klausur-Vorbereitung arbeite ich zurzeit einige Aufgaben aus dem Begleitmaterial meiner Uni durch. Dabei bin ich auf diese Aufgabe gestoßen, für die leider keine Lösung angegeben ist. Uns wurde auch leider keinerlei Wissen vermittelt,  wie man solche Aufgaben löst. Bitte helft mir die Aufgabe zu lösen.

Answer 1

(a) v = 0 ⇒ Av = 0, falls also einer der Vektoren der Nullvektor ist, dann sind Av₁ und Av₂ linear abhängig. Ansonsten gibt es ein 0≠c∈ℝ mit v₂=cv₁. Mit diesem c gilt Av₂ = A(cv₁) = cAv₁. Also lässt sich Av₂ als Linearkombination von Av₁ darstellen.

(b) Falsch. Gegenbeispiel ist Nullmatrix A und Standardbasis {v₁,v₂} von ℝ².

(c)  Ist die Kontraposition von (a)

(d) Ist die Kontraposition von (b)

> Uns wurde auch leider keinerlei Wissen vermittelt,  wie man solche Aufgaben löst.

Das ist üblich. Es wird erwartet, dass der Student selbständig auf Basis der Definitionen der Fachbegriffe den Lösungsweg findet. Das braucht natürlich Übung, zu der in der Schule keine Zeit mehr besteht.