Wie löse ich diese Polynomdivision? x^4-6,5x^3+6x^2+26x-40=0

Question

 

ich habe die Aufgabe x^4-6,5x^3+6x^2+26x-40=0 versucht, via Polynomdivision zu einer Gleichung 3. Grades zu vereinfachen. Bei mir erhalte ich jedoch nur ... ach, ich hab's einfach mal fotografiert:

 


 

ist die 40 nun ein restwert oder hab ich etwas falsch gemacht?

 

Gruß

Comments

Ich schreibe das mal als eigenständige Antwort.

Answer 1

Man muss hier nicht unbedingt das Distributivgesetz anwenden

f(x) = x^4 - 6.5x^3 + 6x^2 + 26x - 40 = 0

Ich suche eine Handvoll Nullstellen. Meist schaue ich mit dem Taschenrechner über Wertetabelle im Bereich von -10 bis +10.

Hier finde ich x=-2, x=2 und x = 4 

Nun mache ich 3 mal die Polynomdivision bzw. Horner Schema.

(x^4  - 6.5x^3  +  6x^2  + 26x  - 40) : (x + 2)  =  x^3 - 8.5x^2 + 23x - 20   
x^4  +    2x^3                       
————————————————————————————————————     
- 8.5x^3  +  6x^2  + 26x  - 40     
- 8.5x^3  - 17x^2                  
———————————————————————————————                   
23x^2  + 26x  - 40                   
23x^2  + 46x                         
——————————————————                         
- 20x  - 40                         
- 20x  - 40                         
———————————                                   
0

(x^3  - 8.5x^2  + 23x  - 20) : (x - 2)  =  x^2 - 6.5x + 10   
x^3  -    2x^2              
———————————————————————————     
- 6.5x^2  + 23x  - 20     
- 6.5x^2  + 13x           
——————————————————————                   
10x  - 20                   
10x  - 20                   
—————————                           
0

(x^2  - 6.5x  + 10) : (x - 4)  =  x - 2.5   
x^2  -    4x       
——————————————————       
- 2.5x  + 10       
- 2.5x  + 10       
————————————                 
0

Es bleibt also eine nicht gefundene Nullstelle bei x = 2.5

Comments

ok, vielen Dank. Wie bist du auf 13/2x³ gekommen?

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Du kannst statt 13/2 auch einfach 6.5 schreiben. Mein Taschenrechner gibt das immer in Brüchen an :-)

13/2 = 6.5

Ich habe das oben mal für dich ersetzt, wenn du mit Brüchen nicht gut rechnen kannst.

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Achsoo, ne, kein Problem. Mich hat's nur verwirrt, weil ich dachte, x³ würde zur 2, aber nicht zur 13 gehören. Okay, danke!

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Da es vier Nullstelen gibt: Woher weiß, welche Nullstelle ich jetzt brauche und ob ich x+2, x-2 etc. schreiben muss?

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Die faktorisierte Form lautet dann:

f(x) = (x + 2)(x - 2)(x - 4)(x - 2.5)

In den Klammern stehen die Nullstellen mit umgekehrtem Vorzeichen. Man muss also in die Klammer für x eine Nullstelle einsetzen, damit die gesamte Klammer Null wird.

Answer 2

Leider nicht so offensichtlich, man muss zuerst das Distributivgesetz anwenden und  das Polynom umformen in:

1/2* (2x⁴-13x³+12x²+52x-80)    und nun kann die Polynomdivision  mit 2x-5  durchgeführt werden. die 1/2 lass ich erst mal weg ,müssen zum Schluß wieder dazu.

     2x⁴- 13x³ +12x² +52x -80 .( 2x-5) =x³-4x²-4x+16

-  ( 2x^4--5x³)

-----------------

            -8x³ + 12x²

        -  (-8x³ +20x²)

----------------------------

                    -8x²  +52x

                 -( -8x² +20x)

 ----------------------------------

                             32x   -80

                       -(   32x   -80)

-----------------------------------

                                        0

Polynom lautet dann:

1/2 *(2x-5) *(x³-4x²-4x+16)

Man kann noch weiter  Faktorisieren, und erhält dann

1/2 *(x-4)*(x-2)*(x+2)*(2x-5)

Nullstellen des Polynoms sind:   für x= 4, x=2 , x=-2 ,x= 5/2

                          

Comments

Okay, vielen Dank. Aber wie erkennt man, dass man das Distributivgesetz verwenden muss?

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Leider gibt es dafür keine Regel,  nur probieren.

Answer 3

Deine Rechnung müsste aber auch aufgehen.

Ich sehe im Moment aber nur, dass du 2* untereinander 26x hast.

Das Untere müsste 46 x sein

Dann hast du -20x - 40 und kannst nochmals dividieren.       

---> im Resultat noch -10 danach ist der Rest dann 0.