Isomorphe Abbildung zeigen

Question

U ein r-dimensionaler Untervektorraum von K^n .

Zu zeigen ist , es gibt Zahlen 1 <= i1 < ... < ir <= n , sodass die folgende Abbildung ein Isomorphismus ist :

z : U -> K^r , (x1 ... xn)  |-> (xi1 ... xir)

Ich muss wohl zeigen , dass die Abbildung linear ist , d.h ganz bestimmte Eigenschaften alle gelten für ausgewählte , feste i1 ... ir . Und danach muss gezeigt werden , dass z bijektiv ist und die Umkehrabbildung z^-1 auch linear ist .

Ich habe keine Ahrnung , wie ich die Bijektivität zeigen kann .

Answer 1

Zeige dim(Bild(z)) = r. Wähle dazu eine Basis von U und zeige das die Bilder der Basis linear unabhängig sind.

Dass z^-1 linear ist, brauchst du nicht zu zeigen.

Comments

Ich weiß , dass eine Basis von U r Elemente besitzt aufgrund der Dimension von U , aber wie kann ich eine konkrete Basis von U aufstellen , wenn ich nicht mehr als das weiß ?

Wenn ich dann eine Basis habe , bilde ich wohl mit der der Linearkombination

c1*a1 + c2 *a2 + c3 * a3 + ...cr*ar = x1 .... xr   (ai sind Vektoren der Basis aus U ) auf K^r    ab und jedes a aus K^r wird mindestens einmal abgebildet , da es als Linearkombination zu schreiben ist und höchtens einmal abgebildet , weil die Linearkombinationen der Basis eindeutig sind, oder?