Zeige, dass die Formel gilt. 1/xy= (x^-1-y^-1)/(x-y)

Question

Habe hier eine Aufgabe und komme nicht weiter:

Zeige das gilt:

1/xy= (x^-1-y^-1)/(x-y)

Habe jetzt folgenden Ansatz:

(1/x-1/y)/(x-y)

Aber wie gehts dann weiter?

Answer 1

hießt die Aufgabe etwa so?

Comments

Ja nur ohne Minus zu Beginn

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Das Minus zu Beginn gehört da aber hin. Ansonsten ist die Aussage falsch. Oder steht auf der rechten Seite vielleicht y-x im Nenner? Das würde die Aussage auch ohne Minus zu Beginn retten.

Und falls du uns nicht glaubst, dann setze doch mal für x und y konkrete Zahlen ein und rechne aus.

Answer 2

(1/x-1/y)/(x-y)

= (  ( y/(xy) - x/(xy) )   /   ( x - y )

=    (   (y-x) / (xy) )   /   ( x - y )

=     (  - (x-y) / (xy) )   * 1 /   ( x - y )

= (x-y) * (-1)   /   ( ( xy) * (x-y ) )   jetzt die Klammer kürzen

=  -1 / (xy)

Comments

Warum *1 bzw. warum kommt das xy dann runter?

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Das ist immer so:

Division durch etwas ist immer das gleiche multiplizieren mit      1/ etwas

etwa  10/2   =   10 * (1/2)

oder   7/4 = 7 *(1/4)

also  auch

/   ( x - y )    entspricht     * 1 /   ( x - y )

Answer 3

> Zeige das gilt: 1/xy= (x^-1-y^-1)/(x-y)

Das  kann nicht gelten.

Wähle x=1 und y=2. Dann steht auf der linken Seite 1/1·2 was 2 ergibt und auf der rechten Seite (1^-1-2^-1)/(1-2) was -1/2 ergibt.

Auch das  von dir vielleicht gemeinte 1/(xy)= (x^-1-y^-1)/(x-y) kann nicht gelten. Wähle dazu x=1 und y=2. Dann steht auf der linken Seite 1/(1·2) was 1/2 ergibt und auf der rechten Seite (1^-1-2^-1)/(1-2) was -1/2 ergibt.

Comments

Dann ist mein Mathebuch falsch

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soll heißen    1 / (x*y)

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> soll heißen    1 / (x*y)

Das macht's nicht besser.

> Dann ist mein Mathebuch falsch

Die einzige andere Erklärung ist, dass du die Aufgabe nicht korrekt abgeschrieben hast.

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Mein Mathebuch sagt:

Zeige das gilt: (x^-1-y^-1)/(x-y) = 1/x*y

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Egal ob dein Mathebuch \( \frac{x^{-1}-y^{-1}}{x-y} = \frac{1}{x\cdot y} \) oder \( \frac{x^{-1}-y^{-1}}{x-y} = \frac{1}{x}\cdot y \) sagt, beides ist falsch.

Richtig ist, wie Grosserloewe gezeigt hat, \( \frac{x^{-1}-y^{-1}}{x-y} = -\frac{1}{x\cdot y} \).

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Stimmt, habe gerade in meinem "Beweis" einen VZ-Fehler entdeckt,

korrigiere ich jetzt und dann stimmt es.