Gebrochenrationale Funktion f(x) = (x^3-x)/(x^2 + x -2). Definitionslücke, Nullstellen, Verhalten?

Question

a) definitionslücke

b) Nullstellen

c) Ergänzung der funktion bei hebbaren definitionslücken

d) Verhalten für x→- ∞ und x→+∞

Answer 1

a) Bestimme die Nennernullstellen:

x^2+x-2 = 0          (Satz von Vieta, pq-Formel etc)

(x-1)(x+2) = 0

--> x_(1) = 1 und x_(2) = -2

b)

Betrachte den Zähler und bestimme die Nullstellen:

x^3-x = 0

x(x^2-1) = 0   |Dritter Binomi

x(x-1)(x+1) = 0

x_(3) = 0, x_(4) = -1, x_(5) = 1

Die Nullstellen sind nur x_(3) und x_(4), da x_(5) eine Definitionslücke ist.

c) Der x-Wert x = 1 kann behoben werden. Setze x = 1 in die vereinfachte Funktion ein:

f(x) = (x(x+1))/(x+2)

f(1) = 2/3

--> Mit P(1|2/3) kann die Stelle behoben werden.

d) Der Zählergrad ist größer dem Nennergrad (um 1). Wir haben also eine schiefe Asymptote vorliegen.

Für x -> ∞ bleibt das ganze positiv -> also Verhalten gegen ∞.
Aufgrund der schiefen Asymptote haben wir dann ein Verhalten gegen -∞ für x -> -∞

Grüße

Comments

Vielen dank sehr hilfreich und ausführlich erklärt :)

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Da nach dem "Verhalten im Unendlichen" gefragt ist, könnte auch die Asymptote selbst gefragt sein.

Du erhältst ihren Funktionsterm als ganzrationalen Anteil des Ergebnisses der Polynomdivision Zähler/Nenner.