Untersuchen Sie die Folgen (an)n∈ℕ, (bn)n∈ℕ auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf die Grenzwerte:

Question

1. a_n:= √(n+1) - √n

2. b_n:= √(n+ξn) - √n

Zu 1.: Beim Umformen erweitere ich den Term mit (√(n+1) + √n) / (√(n+1) + √n), s.d. man die binomische Formel (a+b)(a-b) anwenden kann und durch weiteres Umformen erhalte ich dann den Term:

1 / (n (√((1/n)+(1/n^2)) + √(n+1) - √(1/n))

mit n→∞, 1/n → 0, 1/n^2 → 0

Folglich: 1/0 , da Nenner nicht gleich 0 sondern gegen 0 konvergiert,folgt a_n → ∞ ⇒ a_n divergiert

Bei 2. selbige Prozedur und am Ende kommt ξ/0 bei n→∞ raus ...

Gebe ich aber beim Anfangsterm im TR eine große Zahl ein, konvergiert es gegen 0 ... Was habe ich falsch gemacht ?

Damit es übersichtlicher ist, füge ich meine mit der Hand geschriebene Lsg an.

Answer 1

du hast bei 1) eigentlich gut angefangen bist dann aber total auf dem Holzweg gelandet. Vor allem von solchen Rechnungen wie "\(\infty \cdot 0 = 0 \)" solltest du dich trennen, da dies einfach so nicht funktioniert.

1) $$ \lim \limits_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n} } = 0 $$

Die Folge \(a_n\) konvergiert also.

2) Du kannst ja auch schreiben: \( b_n = \sqrt{n} \cdot (\sqrt{1+\xi)} -1 ) \). Womit für \(\xi > 0 \) klar sein sollte, dass

$$ \lim \limits_{n \to \infty} b_n = \infty $$

Gruß