Ungleichung: Lösung mit Betrag: I 2x - 16I < 5

Question

I 2x - 16I < 5

ich habe zunächst

2 I x-8I <5  =>  I x - 8 I < 5/2

fall 1

x >= 0

x -8 < 5/2

x < 21/2

L1 = {x < 21/2}

fall 2

x <0

-x-8 < 5/2

-x < 21/2

x > 21/2

L2={x>21/2}

Lg= { x < 21/2 und x > 21/2}

richtig?

Answer 1

auch hier gilt: Es ist irrelevant was mit x selbst passiert.

Viel wichtiger ist, wann der Betrag positiv ist und deshalb einfach weggelassen werden darf. Und wann der Betrag negativ ist, also behandelt werden muss.

Einmal hast Du einen Fall mit x ≥ 8, einmal mit x < 8.

Zur Kontrolle:

5,5 < x < 10,5

Wenn Du nicht weiterkommst, bin ich wieder in ein paar Stunden da. Hoffe das ist in Ordnung, bzw. gesagtes ist schon Hinweis genug :).

Grüße

Answer 2

Alternative:

I 2x - 16I < 5       

I x - 8I < 2.5 

1. Fall x≥ 8

x - 8 < 2.5

x < 10.5          L1 = {x| 8≤ x < 10.5} 

2. Fall x< 8

 -x + 8 < 2.5

5.5  < x          L2 = {x| 5.5 < x < 8}

 ==> 

L = {x ∈ ℝ | 5.5 <x <10.5 } 

EDIT: In Intervallschreibweise: L = ( 5.5 , 10.5) 

Answer 3

Die Betragsfunktion | term |  muß wie folgt behandelt werden :

term > 0 :
| term | = term

term < 0 :
| term | = ( term ) * ( -1 )

Bei dir ist unter anderem falsch

fall 1
x >= 0  falsch
sondern
x - 8 > 0
x > 8

x - 8 < 2.5
x < 10.5

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x > 8 ) und ( x < 10.5 ) ergibt sich
8 < x < 10.5

fall 2
x < 0 falsch
sondern
x - 8 < 0
x < 8

( x - 8 ) * (-1) < 2.5
-x + 8 < 2.5 | + x  | - 2.5
5.5 < x
x > 5.5

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x < 8 ) und ( x > 5.5 ) ergibt sich
5.5 < x < 8

Beide Fälle

( 8 < x < 10.5 ) und ( 5.5 < x < 8 )
5.5 < x < 10.5

Du kannst dir die Zahlenbereiche am besten durch eine
Skizze auf einem Zahlenstrahl klar machen.

Comments

Danke

kann ich auch als ergebnis

L=R\{11÷2, 21÷2}

Schreiben?

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Nein. Bei " L=R\{11÷2, 21÷2} " 

ist R \ überflüssig. Und danach hast du falsche Klammern benutzt. 

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Also runde klammern?

Wie kann ich dann schreiben?

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Du hast so viele Antworten bekommen. Die meisten sagen dasselbe. Ich habe dir L in Mengenschreibweise schon hingeschrieben und werde noch die Intervallschreibweise ergänzen. Mehr kannst du nicht schreiben, vor allem nachdem du nicht mal angegeben hast, was überhaupt eure Grundmenge ist.

Answer 4

Es geht auch ohne Fallunterscheidungsgeraffel und das wäre dann auch der einfachere Weg, denn: Die Ungleichung wird von genau den Zahlen erfüllt, deren Doppeltes um weniger als 5 von der Zahl 16 abweicht, also gilt$$ \left| 2x - 16 \right| < 5 \\\,\\ 16-5 < 2x < 16+5 \\\,\\ 11 < 2x < 21 \\\,\\ 5.5 < x < 10.5 \\\,\\ $$

Comments

Hallo hh9100,

mir selbst war die Variante des Quadrierens der
Ausgangsgleichung eingefallen. Ebenfalls eine Lösung
mit weniger Arbeitsaufwand.

Ziel der anderen Antworten war es jedoch dem Fragesteller
seine Fehler aufzuzeigen.

mfg Georg

---

Ja, das war mir wohlbewusst. Die Fehler entstanden beim Unterscheiden der Fälle und so sehe ich zwei Auswege aus dem Dilemma: (1) Fallunterscheidung richtig durchführen oder (2) Fallunterscheidung vermeiden. Zu (1) gab es schon Ausführungen und zu (2) habe ich eine Möglichkeit beschrieben. So ergänzen sich die Antworten gegenseitig.