Produkt aus Nullfolge und beschränkte Folge

Question

Abend,

ich versuche schon seit einiger Zeit den Beweis für die Konvergenz aus dem Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge zu verstehen.

Hier der Beweis

Ιb_n Ι ≤ M ,  M>0

a_n -> 0 (n -> ∞)

d.h ∀ε > 0: ∃N(ε)∈ℕ: n≥ N(ε): Ιa_n-0Ι ≤ ε

Ιa_n-0Ι ≤ (ε / M)

<=> Ιa_n Ι ≤ (ε / M)

Beh. : ∀ε > 0: ∃N(ε)∈ℕ: n≥ N(ε): Ιa_nb_n-0Ι ≤ ε

Beweis: Ιa_nb_nΙ = Ιa_n Ι · Ιb_nΙ ≤ Ιa_n Ι · M ≤ (ε / M) · M ≤ ε  ∀n≥N(ε)

Nun zu meine Fragen. ( Die betroffenen Stellen sind rot markiert)

1. Warum heißt es M>0 und nicht M ∈ℝ bzw. wann schreibt man  M>0 und wann M ∈ℝ ?

2. Wie komme ich auf (ε / M)? Das verstehe ich einfach nicht. Woher soll ich wissen, dass es (ε / M) heißen soll und man dadurch auf das ε am Schluss kommt. Muss man das einfach schon gleich am Anfang erkennen.? 

3. Muss man bei der Beh. N(ε) oder N₂(ε) schreiben? Ich habe ja schon vorhin bei der Konvergenz von an N(ε) verwendet. Müsste dort N₁(ε) stehen? Oder braucht man das hier nicht unbedingt?

3. Und nun zu meiner letzen Frage: Gibt es irgendeinen Trick beim Abschätzen? Also kann man das sehen, wann man abschätzen muss? Oder "erlernt" man das indem man ganz viele Übungen macht. Ich weiß nämlich nie, wann ich Abschätzen sollte, um dann auch auf das Ergebnis kommen zu können. 

Tut mir leid für die vielen Fragen, aber ich möchte das Thema verstehen. Ich hoffe ihr nehmt Rücksicht :)

Vielen vielen vielen Dank schon einmal für die kommenden Antwort!!

Schönen Abend euch.

Comments

Zu 1)

M muss grösser 0 sein den |xy| >= 0 gilt immer! M ist grösser gleich dem Maximum aus { |obere Schranke|;|untere Schranke|}

Zu 2)

aufgrund von

d.h. ∀ε > 0: ∃N(ε)∈ℕ: n≥ N(ε): Ιa_n-0Ι ≤ ε

folgt dass es auch ein ε gibt für das gilt

Ιa_n-0Ι ≤ (ε / M)

das legt man so fest, da man es später braucht, ggfs. schaut man erst wohin einen der Beweis führt und bestimmt es dann erst.

Zu 3)

Das ist immer noch das N(ε) von Ιa_n-0Ι ≤ (ε / M), jedoch ist es unerheblich wie es berechnet wird, so lange es existiert. Es ist ja auch N in Abhängigkeit von ε.
Man weiss ja, für alle ε gibt es irgendein N für das gilt...
Durch ein verkleinern des ε durch einen Faktor wird N ggfs. grösser, aber das ist ja egal. Zur Not setzt man ε_neu = ε_alt / Faktor und bekommt dann  N_neu, ab dem gilt...

Ich hoffe, das ist irgendwie verständlich.

---

Ganz generell koennte man bemerken, dass das \(\epsilon\) in der Konvergenzformulierung kein Geheimcode ist, sondern einfach für eine beliebige positive Zahl steht. Es gibt viele Moeglichkeiten, alle beliebigen positiven Zahlen darzustellen. Z.B. kannst Du ueberall, wo \(\epsilon\) steht, auch einfach \(2\epsilon\) hinschreiben, ohne dass sich inhaltlich was aendert. Ausserdem tut es natuerlich auch jeder andere Buchstabe, \(\epsilon\) ist bloss Konvention. Da die eigentliche Pointe bei beliebig kleinem positivem \(\epsilon \) liegt, kannst Du z.B. sogar auch \(\sin\epsilon\) statt \(\epsilon\) schreiben. Es ist deshalb gar nicht noetig, vorab (oder eigentlich hinterher!) etwas hinzutuerken. Eine Abschaetzung \(|a_nb_n|<M\epsilon\) ist so gut wie \(|a_nb_n|<\epsilon\).

---

Was ist mit N(ε) gemeint?

---

Hallöchen Leute, bin mal wieder mit einer Frage für euch am Start, und hoffe ihr könnt mir dabei helfen ^^

Es seien (a_n)_n∈ℕ eine Nullfolge und (b_n)_n∈ℕ eine beschränkte Folge in ℝ.

Nun soll ich zeigen, dass (a_n·b_n)n∈ℕ dann automatisch auch eine Nullfolge ist. Und zudem soll ich Zeigen, dass auf die Voraussetzung "(b_n)_n∈ℕ ist beschränkt" nicht verzichtet werden kann.

Mein Ansatz ist zu zeigen, dass für (a_n)_n∈ℕ gelten muss:

∀ε>0 ∃ n₀ ∈ℕ ∀ n ≥ n₀ : |a_n| ≤ ε

und es muss gezeigt werden, dass für (b_n)_n∈ℕ folgendes gelten muss:

∃ c ∈ ℝ ≥ 0 ∀ n∈ ℕ: |b_n| ≤ c      (zumindest glaube ich, dass man so zeigen kann, dass eine Folge Beschränkt ist, oder?)

Und was soll ich nun tun? x'D
Hab leider keine Ahnung :(

---

Das Fettgedruckte musst du nicht zeigen, sondern anwenden, da es per Definition der Begriffe Nullfolge und beschränkte Folge gilt. Zum zweiten Teil wähle z.B. \(a_n=\frac1n\) und \(b_n=n^2\).

---

OKay, dann ist meine Frage wohl eher wie ich das anwende ^^'
Meistens fällt mir der Anfang einfach noch so schwer :(

---

Da die Folge \((b_n)\) beschränkt ist, existiert ein \(c\in\mathbb R\) mit \(\vert b_n\vert< c\) für alle \(n\). Sei nun \(\varepsilon>0\) beliebig vorgegeben. Da \((a_n)\) eine Nullfolge ist, existiert ein \(N\in\mathbb N\) mit \(\vert a_n\vert<\frac{\varepsilon}c\) für alle \(n>N\). Es folgt$$\vert a_n\cdot b_n \vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert<\frac{\varepsilon}c\cdot c=\varepsilon \text{ für alle }n>N.$$Also ist auch \((a_n\cdot b_n)\) eine Nullfolge.

Answer 1

1. Warum heißt es M>0 und nicht M ∈ℝ bzw. wann schreibt man  M>0 und wann M ∈ℝ ?

\(M\) kann auf jeden Fall nicht negativ sein, da Beträge nichtnegativ sind. Damit kann man auf jeden Fall \(M\geq 0\) sagen. Allerdings ist der Fall \(M=0\) ziemlich witzlos, da \(a_n b_n\) dann immer eine Nullfolge ist. 

2. Wie komme ich auf (ε / M)? Das verstehe ich einfach nicht. Woher soll ich wissen, dass es (ε / M) heißen soll und man dadurch auf das ε am Schluss kommt. Muss man das einfach schon gleich am Anfang erkennen.? 

Es reicht wenn du es am Ende erkennst, dann hast du ja, wenn du stattdessen \(\epsilon\) nimmst genau \(|a_n b_n| \leq \epsilon M\). An dieser Stelle ist es aber schöner, wenn da nur \(\epsilon\) am Ende steht. Dass man für genügend große \(n\) \(|a_n| \leq \epsilon/M\) hat, ist dir vermutlich klar (falls nicht sag bitte bescheid). Man wählt es dann einfach so, dass es am Ende schön aufgeht.

3. Muss man bei der Beh. N(ε) oder N₂(ε) schreiben? Ich habe ja schon vorhin bei der Konvergenz von an N(ε) verwendet. Müsste dort N₁(ε) stehen? Oder braucht man das hier nicht unbedingt?

Streng genommen sollte man die von dir vorgeschlagene Unterscheidung im Regelfall vornehmen. Hier ist es aber egal, da beide gleich sind (mach dir klar weshalb und frag ggf. nach).

3. Und nun zu meiner letzen Frage: Gibt es irgendeinen Trick beim Abschätzen? Also kann man das sehen, wann man abschätzen muss? Oder "erlernt" man das indem man ganz viele Übungen macht. Ich weiß nämlich nie, wann ich Abschätzen sollte, um dann auch auf das Ergebnis kommen zu können.

Beim Beweis von Ungleichungen kommen häufig Abschätzungen vor. Wie man konkret abschätzen sollte kommt immer auf den Fall an. Bei Konvergenz- und Stetigkeitsgeschichten möchte man oft ein Produkt haben.

Durch viel Übung kriegt man ein Gefühl für diese Dinge. Wichtige Ungleichungen zu kennen ist auch hilfreich, insbesondere die, die einen Namen haben oder Klassiker wie z.B. \(1+x \leq e^x\).

Comments

Streng genommen sollte man die von dir vorgeschlagene Unterscheidung im Regelfall vornehmen. Hier ist es aber egal, da beide gleich sind (mach dir klar weshalb und frag ggf. nach).

Danke für die ausführliche Antwort! :)

Also hier darf man es so, wie ich es geschrieben habe, gleich schreiben, weil a_n und ( a_nbb_n)  Nullfolgen sind?

Wäre z.B b_n auch konvergent(keine Nullfolge) und ich würde b_n so wie a_n auf schreiben, dann müsste ich für a_n N₁(ε) und für b_n N₂(ε) schreiben, oder? So habe ich es jetzt verstanden.

Answer 2

(1) Wegen \( 0 \le |b_n| < M \) gilt \( M > 0  \) aber \( M \) ist auch eine reelle Zahl. Also gilt beides, \( M > 0 \) und \( M \in \mathbb{R} \)

(2) Du kannst die Folge \( a_n \cdot b_n \) abschätzen durch \( | a_n \cdot b_n | < \epsilon' \cdot M \) wobei \( \epsilon' \) beliebig ist, also auch durch \( \epsilon' = \frac{\epsilon}{M} \).

(3) Die Zahl \( N \) hängt von der Größe \( \epsilon \) ab, deshalb \( N(\epsilon) \)

(4) In diesem Zahl ist es klar, weil \( b_n \) eine beschränkte Folge ist. Das legt nahe, das man \( b_n \) durch die obere Schranke abschätzt.