schwierige Aufgabe zur vollständigen Induktion (Polynom)

Question

Ich habe bereits öfters eine vollständige Induktion durchgeführt, allerdings noch nie mit einem Polynom, wie kann ich am besten an die Aufgabe herangehen? Kann mir jemand den Ansatz geben? Ich werde morgen meine Überlegungen und Rechnungen offenbaren ;) , wenn ich bis dahin in etwa einen Weg zur Lösung des Problems gefunden habe.

Jedes komplexe Polynom q vom Grad n besitzt eine Darstellung der Form

q(z) = C * ∏ⁿ _k=1 (z-z_k )

mit C∈ ℂ, wobei z_k ∈ ℂ die Nullstellen von q sind.
Hinweis: Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Algebra, d.h. jedes nicht-konstante
komplexe Polynom besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Die Aufgabe soll definitiv mit vollständiger Induktion gelöst werden, auch wenn ihr vermutlich einen schnelleren bzw. besseren Weg kennt ;)

Answer 1

mache den Induktionsanfang.

Für den IS: Betrachte ein Polynom \(q(z)\) mit Grad \(n+1\). Dieses besitzt nach dem Fundamentalsatz mindestens eine Nullstelle. Polynomdivision durch den zugehörigen Linearfaktor ergibt ein Polynom von Grad \(n\). IV verwenden und Argumentation abschließen.

Gruß

Comments

Mein Hauptproblem ist der Anfang: Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung. Ich habe mir verschieden Beweise vom fundamentalen Hauptsatz der linearen Algebra angesehen (natürlich hauptsächlich von Gauß), aber ich habe Probleme, dass Ganze auf diese Aufgabe zu projizieren.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra#Anmerkungen

Ich brauche nur den Anfang, dann mache ich den Rest machen, dass würde mir wahnsinnig weiterhelfen.

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Induktionsanfang: \(n=1\). FS => \(q(z) = a_1z +a_0 \) besitzt eine Nullstelle \(z_1\) und somit ist \(q(z) = a_1(z-z_1)\).

Man kann die Nullstelle ja auch direkt angeben \(z_1 =- \frac{a_0}{a_1}\).