Aufgabe zur vollständigen Induktion

Question

Aufgabe:

Ich bin neu im Bereich vollständige Induktion und muss mittels vollständiger Induktion folgendes Beweisen:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) k² = \( \frac{1}{6} \) n (n+1)(2n+1)

Problem/Ansatz:

Also der Induktionsanfang ist ja einfach. Bei dem Beweis, dass es auch für n+1 gilt habe ich enorme Probleme.

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{} \) k²= \( \frac{1}{6} \) (n+1) ((n+1)+1)(2(n+1)+1)

= \( \frac{1}{6} \) (n+1) (n+2)(2n+3)

= \( \frac{1}{6} \) (n+1) (2n²+10n+6)

= \( \frac{1}{6} \) (2n³+12n²+16n+6)

= (2n³+12n²+16n+6) / 6  (konnte ich nicht als Bruch darstellen)

Und weiter weiß ich auch nicht. wahrscheinlich ist das, was ich hier gemacht habe auch schon falsch.. :S

Answer 1

Idee ist, \( \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2\) so umzuformen, dass

        \( \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1)(2n+1)\)

angewendet werden kann:

\(\begin{aligned}&\sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2 \\=\,& (n+1)^2 + \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \\=\,& (n+1)^2 + \frac{1}{6} n (n+1)(2n+1) \\=\,& \dots\\=\,&\frac{1}{6} (n+1) ((n+1)+1)(2(n+1)+1)\end{aligned}\)

Comments

wie komme ich auf die zweite Zeile ?

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Der Summand mit \(k=n+1\) wird abgespaltet.