Wie zeige ich, dass es sich um eine zyklische Gruppe handelt?

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Aufgaben zu zeigen. ℤ₃xℤ₄ ist zyklisch und ℤ₄xℤ₆ ist nicht zyklisch. Ich weiß da leider nicht so ganz, wie ich an die Sache ran gehen soll. Beide Aufgaben gehen bestimmt völlig analog. Ich habe jetzt erstmal das kartesische Produkt aufgeschrieben, aber irgendwie sagt mir das nicht sehr viel :)

ℤ₃={0,1,2}, ℤ₄={0,1,2,3}

ℤ₃xℤ₄ ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(3,0),(0,3),(3,2),(2,0),(0,2),(2,3),(2,2),(3,3)}
= {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(1,0),(0,1),(0,0),(0,0),(0,2),(2,0),(0,2),(2,0),(2,2),(0,0)}
= {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,0),(0,2),(2,2)}

Für 3 in ℤ₃ gilt ja: 3 mod 3 = 0 (Blau markiert)

Muss ich zeigen, dass die Elemente aus dem kartesischen Produkt einen Zyklus bilden? Und wenn ja, wie?

Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

Grundgedanke: Eine endliche Gruppe ist genau dann zyklisch, wenn es ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Anzahl der Elemente der Gruppe ist.

Für die erste Gruppe kannst du also ein Element mit Ordnung 12 finden um zu zeigen, dass die Gruppe zyklisch ist.

Für die zweite Gruppe kannst du zeigen, dass es kein Element mit Ordnung 24 gibt.

Hinweis: 4 und 6 sind nicht teilerfremd.

Gruß

Comments

Ich verstehe Ihre Herangehensweise. Also ich suche mir ein Element x aus der Gruppe, sodass dann Ord(x)=12 gilt. 12 kommt bestimmt durch 4•3=12 zustande. Nur wie finde ich ein solches x?

Sind durch ℤ₃xℤ₄ die Elemente von {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} erlaubt? Oder muss ich, weil es sich um ein kartesisches Produkt handelt x=(x₁,x₂) betrachten?

Weil dann könnte doch ja Ord((x₁,x₂))=12 sein, oder? :)

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Betrachte die Mengen so wie sie da stehen (als kartesisches Produkt).

Aha und was soll (x_1, x_2) sein? Das ist doch die Frage hier. Versuch es mal mit (1,1).