Formel für Vektorprodukt (u X v)X(w X x) und Spatprodukt beweisen.

Question

Einfacher Beweis mit viel Schreibaufwand, leider verwirrt

ich soll das hier beweisen, also habe ich die einzelnen Ergebnisse ausgerechnet, alles ausgeschrieben, um später zu sehen, dass da das gleiche rauskommt.. Dafür habe mit  den Variablen  gerechnet..

Auch wenn ich vernünftige wenn auch lange Ergebnisse raus habe passt mein

(u X c)x(w X x) Ergebnis nicht mit dem ([u,w,x,]v - [v,w,x,]u)= Vektor Ergebnis zusammen,das müsste ja gleich sein.

(u X c)x(w X x) = Vektor =

=(u3v1-u1v3*w1x2-w2x1-w2x1-u1v2-u2v1*w3x1-w1x3 , u1v1-u2v3*w2x2-w3x1-u2v3-u3v2*w3x1*w1x1-w1x3 ,  u2v3-u3v2*w3x1-w1x3-u3v1-u3v1*u3v1*u1v3-w3x3-w3x2 )

Das andere ist ja eigentlich nur die Determinante von 3 mal den Vektor v und  u, nachdem ch das gemacht habe und die beiden voneinander subtrahieren will, kommt nicht u X c)x(w X x) raus.

Danke

Comments

Das müsste rechnerisch eigentlich schon so gehen, wenn die Formel stimmt.

Rechne die rechte Seite sorgfältig aus. Da sollte dann ja einiges wegfallen.

Die Frage wäre höchstens, ob du das nicht auch graphisch einsehen/ beweisen könntest.

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Kann es sein das man bei  ([u,w,x,]v - [v,w,x,]u) das noch irgendwie besonders umstellen muss oder eine Rechenregel anwenden muss, weil ich habe da folgendes raus;

1 Zeile der zwei Vektoren von ([u,w,x,]v - [v,w,x,]u).

(u1w2x3v1  + w1x2u3v1 + x1u2w3v1-u3w2x1v1 - w2x2u1v1-x3u2w1v1)   -(minus)

(v1w2x3u1  + w1x2x3u1 + x1v2w3u1-v3w2x1u1 - w2x2v1u1-x3v2w1u1) 

Hier müsste ja jetzt doch die erste Spalte von (u X c)x(w X x)  rauskommen wenn es gleich ist?

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Erste Zeille von (u X c) X (w X x)  mein ich 

Answer 1

Da fliegt doch jetzt einiges weg. Ich färbe mal etwas ein:

(u1w2x3v1  + w1x2u3v1 + x1u2w3v1-u3w2x1v1 - w2x2u1v1-x3u2w1v1)   -(minus)

(v1w2x3u1  + w1x2x3u1 + x1v2w3u1-v3w2x1u1 - w2x2v1u1-x3v2w1u1) 

Reelle Multiplikation ist kommutativ: Reihenfolge der Faktoren darfst du ändern, am einfachsten Faktoren in den Produkten alphabetisch anordnen. 

Comments

Achso, also muss ich die einzelenen Variablen noch mal mit minus multiplizieren?

Mal sehen ob sich das dann auflöst.

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Leider hab ich das noch nicht verstanden. Das 2 gleich sind hatte ich auch gesehen.(u1w2x3v1  + w1x2u3v1 + x1u2w3v1-u3w2x1v1 - w2x2u1v1-x3u2w1v1)   -(minus)

(v1w2x3u1  + w1x2x3u1 + x1v2w3u1-v3w2x1u1 - w2x2v1u1-x3v2w1u1) 

Mein Problem ist, wenn ich das auflöse komme ich nicht auf die erste Zeile von (u X c)x(w X x) 

Dass oben verrechnet:

(0  + w1x2u3v1 + x1u2w3v1-u3w2x1v1 0 -x3u2w1v1- w1x2x3u1 -x1v2w3u1+v3w2x1u1+x3v2w1u1

Wie mache ich jetzt weiter? 

!Danke

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Weiß nochh jemand was mein Fehler sein könnte?

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Duplikat:


ich muss mal wieder etwas zeigen (nicht meine lieblings Beschäftigung)
also zu zeigen ist , das u→,v→,w→,x→ element R3

(u→xv→)x(w→xx→)=[u→,w→,x→]⋅v→−[v→,w→,x→]⋅u→

durch umformen komme ich auf :

u→⋅<(w→xx→)⋅v→>−<v→⋅<(w→xx→)>=<u→⋅(w→xx→)>⋅v→−<v→⋅(w→xx→)>⋅u→

Aber ich finde kene passende Rechenregel, dass die so gleich sind .

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen :-)
ps. mit dem x in den Klammern meine ich das Kreuzprodukt ..

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Kommentar:

Vielleicht stimmt ja deine Formel nicht und du meinst so was:

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Bezug_zum_Kreuzprodukt

?

Die gleiche Frage kam übrigens vor ein paar Tagen schon mal und führte zu einem Rechenwirrwar. Vielleicht findest du einen Weg dort raus. - einfach mal etwas suchen.

https://www.mathelounge.de/288534/einfacher-beweis-mit-viel-schreibaufwand-leider-verwirrt 

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Ja ich hab es jetzt in Komponenten zerlegt und Ca. Ne halbe Stunde Inize's durch gerechnet ... Und dann kam nachher Gleichheit raus .

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Und dann kam nachher Gleichheit raus .

Schön. Dann hast du das ja selbst geschafft :)