Konvergenz von reihen , welxhes kriterium

Question

hab da eine Frage und zwar,  welches Kriterium muss man anwenden um diese Reihe auf konvergenz untersuchen zu können? Muss ich da die konvergenzradien berechen?

"Summe von n=0 bis unendlich "= 1/(2-x)^n

Answer 1

$$\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2-x)^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{2-x}\right)^n\\\text{Sei }q=\frac1{2-x}.\\\sum_{n=0}^\infty q^n\in \mathbb R\ \ \Leftrightarrow q\in ]-1,1[.\\ q\in ]-1,1[ \ \Leftrightarrow \frac1{2-x}\in]-1,1[\ \Leftrightarrow (2-x)\in]-1,1[\ \Leftrightarrow -x\in ]-3,-1[\ \Leftrightarrow x\in ]1,3[\\ x\not=2$$

Comments

Oki,  danke!Ist das jetzt das quaotientenkriterium? Oder so eine mischung aus diesem und den konvergenzradien?

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Man kann es als Quotientenkriterium ansehen, da für jeweils zwei aufeinanderfolgende Summanden der geometrischen Reihe gilt: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{q^{n+1}}{q^n}=q.$$ Ist also kleiner eins genau dann, wenn q kleiner als eins ist. Für q = +/- 1 ergibt sich unendlich, da es eine Summation von "unendlich oft eins" ist.

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Liegt also insbesondere für \(x=0\) Divergenz vor?

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Ups, für x=0 sollte Konvergenz vorliegen. Ich habe die Intervalle falsch umgerechnet: Wenn 1/(2+x) in ]-1,1[ liegt, liegt (2+x) AUSSERHALB von ]-1,1[, also: $$-1<\frac 1 {2-x}<1 \Leftrightarrow 2-x<-1 \vee 2-x>1.$$ Also habe ich genau die Intervalle ausgerechnet, für die Divergenz gilt! Die richtige Lösung ist damit: $$x<1 \vee x>3.$$

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Oki,  vielen dank! Du hast mir echt geholfen!