Wendepunkte, nullstellen, wendetangente bestimmen!

Question

Hi Leute ich verstehe derzeit in Mathe einfach nichts. 

Hab in den letzten stunden mehrmals gefehlt und weißleider nicht wie ich die aufgabe lösen soll. Kann es mir jemand bitte Schritt für schritt hinschreiben, damit ich es nachvollziehen kann .__. wäre sehr nett von euch.

Aufgabe: gegeben ist die fkt: x→ 2x•e^-1/8x^2 mit D=R

a.) Bestimmen sie die nullstellen der fkt und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereiches.

gut da setze ich die fkt gleich 0 und bekomme x1=0 raus aber ist das auch die einzige nullstelle? Und was heißt Ränder des def.bereiches? ><

b.) Weisen Sie nach,  dass der Graph der Integralfkt F:x→ integral von 0 nach x f (t) dt den Wendepunkt W1 (2|8 - 8e^-0,5) besitzt, und ermitteln Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunktes W2. Welches Krümmungsverhalten besitzt der Graph von F jeweils in W1 und W2? 

ich verstehe ich nur bahnhof :( 

c.) Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente im Punkt W1 auf und berechnen Sie den stumpfen Winkel,unter dem die Wendetangente die y-Achse schneidet.

Oookay was um alles in der welt ist eine Wendetangente. Ich habe eine menge nachzuholen, das weiß ich jetzt schon,  aber ich kann leider nicht etwas was wir vor vielen stunden hatten einfach morgen nachfragen :( wäre nett wenn jemand die aufgabe lösen könnte. 

Liebe grüße

min

Answer 1

$$2xe^{-\frac18x^2}=0\Leftrightarrow 2x=0 \vee e^{-\frac18x^2}=0$$

Da 2x nur die Nullstelle x=0 hat und die Exponentialfunktion gar keine reelle Nullstelle, ist Null auch die einzige Nullstelle von f.

Die Wendepunkte der Integralfunktion sind an jenen Stellen, an denen die zweite Ableitung der Integralfunktion Null ist. Glücklicherweise ist die zweite Ableitung der Stammfunktion von f die erste Ableitung von f, also sollte das noch machbar sein. Außerdem wichtig zu wissen ist, dass das Krümmungsverhalten einer Funktion durch ihre zweite Ableitung gegeben ist. Ist sie größer Null, ist die Funktion eine Linkskurve, kleiner Null eine Rechtskurve. Und Vorzeichen wechseln kann sie nur an den berechneten Nullstellen der zweiten Ableitung. Also kannst du dir das Krümmungsverhalten mithilfe der Nullstellen und einigen Punkten dazwischen zusammenreimen (es gibt die Fälle Linkskurve -> Nullstelle -> Linkskurve, LK -> Nullstelle -> Rechtskurve, RK -> 0 -> LK und RK -> 0 -> R).

Die Wendetangente ist die Tangente an die Funktion in ihrem Wendepunkt. Dazu brauchst du die Tangentenfunktion: $$y=F'(x_0)(x-x_0)+F(x_0).$$ Dabei ist F die Integralfunktion und F'(x) ist ja f(x). Der Winkel, unter dem eine Gerade die y-Achse schneidet kann mithilfe des Arcustangens berechnet werden. Genauer ist es der Winkel $$\frac\pi2-\arctan(F'(x))=\frac\pi2-\arctan(f(x)).$$

Für den Winkel mit der x-Achse wäre es übrigens genau der Arcustangens.

Comments

Nur um sicher zu gehn

Dann ist f'(x)= 2x•e^-1/8^x^2•(-1/4) x+2•e^-1/8^x^2

und f"(x) = 2•e^-1/8^x^2 + 2x•e^-1/8^x^2  • (-1/4 x) + e^-1/8^x^2 + 2•e^-1/8^x^2• (-1/4) so iwie? 

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Du brauchst f''(x) gar nicht zu bestimmen, da du die Krümmung des Integrals, der Stammfunktion von f suchst!

Eine Stammfunktion ist eine Funktion F mit der Eigenschaft: F'(x)=f(x). Also F''(x) = f'(x). f'(x) hast du aber richtig berechnet und kannst es nutzen.

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Achso Danke für die Info! :) 

Ich will ja nicht nerven aber jetzt die erste Ableitung gleich 0 setzen und die nullstellen in eine art Krümmungs tabelle einsetzen?  

Aber die nullstellen der ersten ableitung ist ja wieder 0? óò  das heißt x <0 = negativ also rechts gekrümmt x=0 

x> 0 positiv also linksgekrümmt 

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$$f'(0)=2\not=0.$$ Denn $$f'(x)=(-\frac12x^2+2)e^{-\frac18x^2}=0\Leftrightarrow -\frac12x^2+2=0\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm2$$

e^0 ist nämlich 1. Eine Exponentialfunktion wird nie Null, und nicht negativ, solange der Exponent reell ist.