Beweise, dass e^2 > 7,3 ist.

Question

Blatt 5.pdf (93 kb)

Ich habe Probleme Ansätze für die Aufgaben 19,20 und 21 zu finden...

würde mich über hilfreiche Antworten sehr freuen

LG Denise

Comments

"Ich habe Probleme Ansätze [...] zu finden..."

Steht nicht ganz gross "Taylorentwicklung" auf dem Zettel?

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ja das ist mir auch schon aufgefallen :D
aber ich weiß trotzdem nicht was ich da genau tun soll..

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Schreib die Taylorentwicklung von e^x auf und setzte da x=2 ein!

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habe ich danke :)

dieses blöde brett vorm kopf....

und bei 20 bzw. 21?

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Bei der 20? Schreibe für f(x+h) und f(x-h) das Taylorpolynom ersten Grades mit Lagrange-Restglied an und mach was draus.

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wie sieht denn in diesem fall das restglied aus?

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Das steht im Skript, im Buch, im Internet, etc. Merkregel: Das Lagrange-Restglied sieht aus wie der naechste Term in der Taylor-Entwicklung, aber im Argument der Ableitung steht eine Zwischenstelle.

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also f"(z.B c) *h?

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Eher so: \(f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x+\theta h)\).

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welche beiden gleichungen addiere ich dann die von f(x+h) und f(x-h) oder die beiden und die aus der Aufgabenstellung?

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okay 20 habe ich dann auch geschafft. nochmal danke dafür.

21.1 habe ich schon gemacht und hoffentlich richtig :D

dann bräuchte ich noch eine kleine Unterstützung bei 21.2: Wie prüfe ich denn die Konvergenz?

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beweise das e²> 7,3 ist 


e kann ich ja als $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k! }  }  }$$ schreiben 

wenn ich jetzt aber die ersten glieder aufschreibe reicht das ja noch nicht aus damit dies größer als $$\sqrt [ 2 ]{ 7,3 } $$

gibt es da noch i-ein trick ?

Answer 1

$$e^2>\sum_{n=0}^6\frac{2^n}{n!}=\frac{331}{45}>7,3$$

Answer 2

Fuer die naechste Aufgabe schreibst Du $$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x+\theta_1 h)$$ und $$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x-\theta_2 h)$$ und addierst die beiden Gleichungen.

Answer 3

Hllo,

Du mußt die Taylorentwicklung von e^x entwickeln und für x=2 einsetzen.

siehe hier:

https://www.mathelounge.de/289631/taylorentwicklung-von-e-x#a289636

Comments

also ist x=2 mein entwicklungspunkt oder ist das anders gemeint ? 

aber auf dem foto war das restglied aber noch nicht berechnet ... 
denke mit dem taylorpolynom alleine wird man auch nicht darauf kommen

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$$\frac { f^{ (0) }\left( { x }_{ 0 } \right)  }{ 0! } { (x-{ x }_{ 0 }) }^{ 0 }\quad für\quad { x }_{ 0 }=2\quad erhalte\quad ich\quad e²$$ als ersten wert und damit wäre es ja schon gezeigt denke das ist nicht richtig ... 

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schon gut ich weiss meinen fehler ... war ein wenig überhastet von mir ...
es wird ja wieder abgezogen da mein entwicklubngspunkt nicht null ist