Funktionsscharen in der Wirtschaft: Der Produktlebenszyklus

Question

Hallo ich habe ein Problem ich soll etwas zum Thema Produktlebenszyklus berechnen. Ich kriege das aber nicht hin.

Die Funktion zur Aufgabe lautet:

u_a(t)= at⁴+8t³+t 

a ∈ R _<0 

t in Jahren

Aufgaben

a) Wie groß muss a gewählt werden, damit der Umsatz nach 4 Jahren gleich Null ist, d.h. das Produkt nach 4 Jahren vom Markt genommen wird?

Meine Berechnung:

u_a(t)= at⁴+8t³+t

u_a(4)=a*4⁴+8*4³+4

Ich hätte die Funktion jetzt Null gesetzt!

Doch egal was ich versuche ich bekomme am Ende immer eine Minuszahl raus, was aus Wirtschaftlichen Gesichtspunkten nunmal nicht möglich ist!

b) Wie groß muss a gewählt werden,damit der Umsatz nach 3 Jahren maximal ist? Wie hoch ist der Umsatz dann zu diesem Zeitpunkt (also nach 3 Jahren)?

Meine Berechnung:

u_a(t)= at⁴+8t³+t

u_a'(t)=4at³+24t²+1

u_a'(3)=4a*3³+24*3³+1

Hier das gleiche Spile ich hätte die Funktion jetzt Null gesetzt aber auch hier kommen Zahlen raus, die einfach nicht plausibel sind?

Die Berechnungen sollten möglichst mit dem GTR berechnet werden.

Wäre Super wenn Ihr mir helfen könntet.

Comments

Zu a)

Ua(4)=0 zu setzten ist korrekt. Der Umsatz nach 4 Jahren soll 0 betragen.

a ist doch definiert aus ℝ < 0. Damit kann a ja nur negativ sein. Ausserdem würde der Umsatz mit a > 0 bei t gegen ∞ auch gegen ∞ gehen, da es sich um ein Polynom 4. Grades handelt.

Das t nicht negativ sein kann (in die Vergangenheit) ist mir klar, aber warum darf, als Parameter einer Umsatzkurve nicht negativ sein? Nur weil a<0 ist, ist nicht automatisch auch U < 0.

Zu b)

Ich nehme an, hier liegt ein ähnliches Problem vor. Richtig?

Plotte doch einfach mal die Funktion mit den Tools dieser Website. Ersetze t durch x und setze einfach für a eine Deiner Lösungen ein.

Ich hoffe das hilft weiter.

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Ja super danke deine Antwort hat mir schon echt weiter geholfen hat jetzt auch einen Sinn ergeben

Das mit den Zahlen die nicht ins Minus dürfen hatte ich irgendwie im Kopf(aber das will nichts heißen).

Answer 1

u(t) = a·t^4 + 8·t^3 + t

a)

u(4) = 0 --> a = - 129/64

Warum macht ein negativer Wert deiner Ansicht nach keinen Sinn ? Im Gegenteil. Ein Positiver Wert macht hier keinen Sinn, weil dann der Umsatz im Laufe der Zeit immer weiter Steigen würde. Dann wäre der Produktlebenszyklus ja nie zu Ende.

b)

u'(t) = 4·a·t^3 + 24·t^2 + 1

u'(3) = 0 --> a = - 217/108

u(t) = - 217/108·t^4 + 8·t^3 + t

u(3) = 56.25

Comments

Perfekt habe die Zahlen gerade überprüft, ist jetzt richtig was ich gemacht habe.
Meine Lehrerin hat mal gesagt das der Umsatz nie Null wird da immer mal wieder ein Produkt gekauft wird aber das war glaube ich zu einer Spezifischen Aufgabe!

Danke für die Hilfe!