Konvergenzradius, Reihe...: ∑ (5-2x)^n/n7^n

Question

Hey , ich weiß zwar, wie man es berechnet bzw. welche Formel angewandt werden muss und die darauf folgende Schritte ...ich weiß aber nicht was ich mit dem x machen soll .

kann da jemand helfen ?

Also die Aufgabe ist den Konvergenzradius zu berechnen und die Reihe auf Konvergenz an den Rändern zu untersuchen :

∑ (5-2x)^n/n7^n

dabei ist :∑von n=1 bis n=unendlich

danke!

Comments

5-2x= 0 kannst du nach x auflösen. Dann kennst du das Konvergenzzentrum.

(5-2x)ⁿ

= (2(2.5-x))^n = 2^n(2.5-x)^n 

Das 2^n solltest du dann zu 

 / n 7^n ziehen.

(5-2x)ⁿ/n7ⁿ 

= (2.5-x)^n 2^n/ n7^n.

EDIT: Solltest du wollen, dass 7^n unter dem Bruchstrich steht, solltest du den Nenner klammern. 

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Ich verstehe nicht so richtig,  wie es mir weiter helfen soll. Ich muss ja das konvergenzintervall angeben,  damit kann ich es aber nicht berechnen oder? Da steht doch immer noch das x,  und es ist für mich, .denke.ich mal,  ein störfaktor. ..

Muss ich es denn nicht um 2 verschieben? 

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Das Konvergenzzentrum ist bei 2.5.

Den Konvergenzradius berechnest du mit dem, was neben (2.5-x)ⁿ steht. Also mit an =  2ⁿ/ n7ⁿ.

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Ach ok,  danke! 

Und wenn ich die.Konvergenz an den Rändern überprüfen will,  muss ich dann das was bei dem ersten Teil rauskommt einsetzten und dann das gleiche nochmal nur mit nem minus? Und schauen ob es konvergiert? 

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Genau so prüfst du die Rander.

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ok. kann jemand schauen, ob das so richtig ist ?

∑ (5-2x)^n / n7^n

Konvergenzzenreum: 5-2x=0 --> x=2,5 --> (5-2x)=(2(2,5-x))^n = 2^n (2,5-x)^n

Konvergenzradius:  I an/an+1 I = (2^n /n7^n) / (2^n+1  /  8n+1)7^n+1) = (2^n(n+1)7^n+1 / n7^n 2^n+1

                                                  = ....= n(7+(7/n)) / n2 = 7/2

Konvergenzintervall x∈ (-7/2, 7/2)

Ränder:

x= 7/2 :   für x einsetzen--> =......= -2n/7n+7 = n(-2) / n(7+(7/n)) = -2/7 ⟩0 also divergent

x= -7/2 =....= n(12)/n(7+(7/n))= 12/7 ⟩ 0 also acu divergent

--> die Reihe konvergiert für x∈⌉-7/2, 7/2⌈

Answer 1

Ist nun leider schon etwas lange her.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(+(5-2x)%5En+%2F+(n*7%5En+))

Das Konvergenzzentrum 2.5 hast du doch.

Der Konvergenzradius ist r = 7/2.

Das ergibt den Konvergenzbereich (2.5 - 3.5, 2.5 + 3.5) = (-1, 6)

Nun noch die Randpunkte des Intervalls untersuchen.