Nach richtiger Anwendung von https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz
für die innere Summe ergibt sich (statt m hier die Laufvariable i):
Sum Binom(n,i)*(1/2)^{i+n},i=0...n
=pow(3/4,n) = (3/4)^n
was der Iterationsrechner online beweist:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Ni=0;@N@Bi]=Iter(1,i,aD[0]=0,'i%3C=x','aD[0]+=Binom(x,i)/@P2,x+i);i++','aD[0]');@Ci]=@P3/4,i);@Ni%3E9@N0@N0@N#
wobei die Funktion Iter(1,x,i, strSolangeWie, strUnterberechnung, strRückgabewert)
nichts weiter als die Untersumme ist, die in Array-Variable aB[i] abgelegt wird.
Nach Anwendung von https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
mit a[0]=1 ergibt sich der Gesamt-Grenzwert für beide Summen:
1/(1-3/4)= ...
das kann man im Kopf :-)
Zugabe:
Erweiterung am Iterationsrechner:
Init-Zeile noch zusätzlich aD[1]=0;
am Ende der Iterationsformel noch: aD[1]+=aB[i];
statt i>9 bis i>99 (oder 199) laufen lassen
und schon hat man das Gesamt-Ergebnis in aD[1]