wo sind die Funktionen definiert und wo diff'bar

Question

Für welche \( x \in \mathbb{R}\)sind die folgenden Funktionen \(f_k\)

definiert, und wo sind sie differenzierbar? Berechne gegebenenfalls ihre Ableitungen.

(a) $$f_1(x)= \frac {ax+b }{ cx+d } $$(wobei ad—bc=1),

(b) $$f_2(x)= \frac { cos(x) }{ 1+x^2 }$$

Answer 1

Quotientenregel: [u/v] ' = (u' • v - u • v ' ) / v²

(a)

f₁ ist definiert für  cx+d ≠0, also für x ≠ -d/c

mit der Quotientenregel erhält man die Ableitung: f₁^'(x) = (ad-bc) / (cx+d)²

(b)

Der Nenner wird nicht  0 →  in ganz ℝ definiert.

QR  →  Ableitung: f₂^'(x) =  - [ 2·x·COS(x) + (x² + 1)·SIN(x) ] / (x² + 1)²

Gruß Wolfgang

Comments

wie muss ich zeigen, dass sie differenzierbar sind?

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f₁^'(x) = (ad-bc) / (cx+d)² muß lösbar sein
Division durch 0 ausschließen
(cx+d)²  = 0
cx + d = 0
x = -d/c

Dies hatten wir im Definitionsbereich bereits ausgeschlossen.
Die Funktion ist im Definitionsbereich differenzierbar.

f₂^'(x) =  - [ 2·x·COS(x) + (x² + 1)·SIN(x) ] / (x² + 1)² 
Der Nenner darf nicht 0 werden.
Der Nenner ist stets positiv.

Also ist die Funktoion überall differenzierbar.